算法 --- 分治（快排）
分治（快排）
分治（以快排为代表）算法最适合解决“将复杂问题分解后，子问题的解能直接合并为原问题解”的题目类型。
详细说明：
分治法的核心思想是“分而治之”，它通过以下三个步骤解决问题：
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分（Divide）：将原问题分解成若干个规模较小的子问题。
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治（Conquer）：递归地解决这些子问题。如果子问题规模足够小，则直接求解。
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合（Combine）：将子问题的解合并，形成原问题的解。
适用于分治法的题目类型和特征：
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问题可分解性：
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问题必须能够被自然地分解为几个规模更小的、结构相同的子问题。
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典型例子：归并排序、快速排序。一个大的无序数组可以分解为两个小的无序数组进行排序。
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子问题独立性：
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各子问题之间相互独立，没有重叠（或者重叠很少）。这是分治与动态规划的关键区别（动态规划的子问题有重叠）。
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典型例子：快速排序。划分后的左右两个子数组的排序过程互不干扰。
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解可合并性：
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这是最关键的一点。必须能够高效地将子问题的解合并为原问题的解。如果合并步骤非常复杂，那么分治法可能不是最佳选择。
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典型例子：
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归并排序：合并两个已排序的子数组为一个有序数组的操作非常高效（O(n)）。
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快速排序：其“合并”步骤实际上什么都不用做，因为经过“分”和“治”之后，整个数组已经自然有序了。这是快排比归并排序更高效的原因之一。
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什么题目具体适用于分治（快排）？
快排是分治法最经典的应用，但它本身是一种排序算法。更广泛地说，分治法适用于以下几类问题：
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排序与选择问题：
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快速排序：通过一个基准值（pivot）将数组“分”为左右两部分，递归“治”之，无需“合”。
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归并排序：将数组平分为两部分，递归排序后，再合并。
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寻找第K大/小元素（快速选择算法）：思路类似快排，每次划分后只在包含目标的那一部分递归，平均时间复杂度为 O(n)。
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计算问题：
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大整数乘法：将大整数分解为更小的部分进行计算，再合并结果。
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矩阵乘法（Strassen算法）：将大矩阵分块，用更少的乘法次数完成计算。
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几何问题：
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最近点对问题：将平面上的点集按x坐标分成两半，分别递归求解两半中的最近点对，再合并处理跨越两部分的点对。
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数据结构操作：
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线段树、归并树的构建和查询，其本质就是分治思想。
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总结：
当你遇到一个问题时，可以问自己这三个问题来判断是否适用分治：
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我能把它分成几个一样的、更小的问题吗？（可分）
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这些小问题可以独立解决吗？（独立）
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解决完小问题后，我能很容易地把它们的答案组合成最终答案吗？（可合）
如果答案都是“是”，那么分治法就很可能是你的得力工具。快排正是完美符合这三点的典范。
题目练习
75. 颜色分类 - 力扣（LeetCode）
解法（快排思想 - 三指针法使数组分三块）：
算法思路：
类比数组分两块的算法思想，这里是将数组分成三块，那么我们可以再添加一个指针，实现数组分三块。
设数组大小为 n，定义三个指针 left，cur，right：
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left：用来标记 0 序列的末尾，因此初始化为-1； -
cur：用来扫描数组，初始化为0； -
right：用来标记 2 序列的起始位置，因此初始化为n。
在 cur 往后扫描的过程中，保证：
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[0, left]内的元素都是 0； -
[left + 1, cur - 1]内的元素都是 1； -
[cur, right - 1]内的元素是待定元素； -
[right, n]内的元素都是 2。
算法流程：
a. 初始化 cur = 0，left = -1，right = numsSize；
b. 当 cur < right 的时候（因为 right 表示的是 2 序列的左边界，因此当 cur 碰到 right 的时候，说明已经将所有数据扫描完毕了），一直进行下面循环：
根据 nums[cur] 的值，可以分为下面三种情况：
i. nums[cur] == 0；说明此时这个位置的元素需要在 left + 1 的位置，因此交换 left + 1 与 cur 位置的元素，并且让 left++（指向 0 序列的边界），cur++（为什么可以 ++ 呢，是因为 left + 1 位置要么是 0，要么是 cur，交换完毕之后，这个位置的值已经符合我们的要求，因此 cur++）；
ii. nums[cur] == 1；说明这个位置应该在 left 和 cur 之间，此时无需交换，直接让 cur++，判断下一个元素即可；
iii. nums[cur] == 2；说明这个位置的元素应该在 right - 1 的位置，因此交换 right - 1 与 cur 位置的元素，并且让 right--（指向 2 序列的边界），cur 不变（因为交换过来的数是没有被判断过的，因此需要在下轮循环中判断）
c. 当循环结束之后：
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[0, left]表示 0 序列； -
[left + 1, right - 1]表示 1 序列； -
[right, numsSize - 1]表示 2 序列。
left 一点是要从-1开始的，因为还没有确定下标0位置是否为0！
class Solution {
public:void sortColors(vector<int>& nums) {int left = -1, cur = 0, right = nums.size();while(cur < right){if(nums[cur] == 0) swap(nums[++left], nums[cur++]);else if(nums[cur] == 1) cur++;else swap(nums[--right], nums[cur]);}}
};
912. 排序数组 - 力扣（LeetCode）
解法（数组分三块思想 + 随机选择基准元素的快速排序）：
算法思路：
我们在数据结构阶段学习的快速排序的思想可以知道，快排最核心的一步就是 Partition（分割数据）：将数据按照一个标准，分成左右两部分。
如果我们使用荷兰国旗问题的思想，将数组划分为 左中右 三部分：左边是比基准元素小的数据，中间是与基准元素相同的数据，右边是比基准元素大的数据。然后再去递归的排序左边部分和右边部分即可（可以舍去大量的中间部分）。
在处理数据量有很多重复的情况下，效率会大大提升。
算法流程：
随机选择基准算法流程：
函数设计：int randomKey(vector<int>& nums, int left, int right)
a. 在主函数那里种一颗随机数种子；
b. 在随机选择基准函数这里生成一个随机数；
c. 由于我们要随机产生一个基准，因此可以将随机数转换成随机下标：让随机数 % 上区间大小，然后加上区间的左边界即可。
快速排序算法主要流程：
a. 定义递归出口；
b. 利用随机选择基准函数生成一个基准元素；
c. 利用荷兰国旗思想将数组划分成三个区域；
d. 递归处理左边区域和右边区域。
class Solution {
public:int getRandom(vector<int>& nums, int l, int r){int tmp = rand();return nums[tmp % (r - l + 1) + l];}void qsort(vector<int>& nums, int l, int r){if(l >= r) return;int key = getRandom(nums, l, r);int cur = l, left = l - 1, right = r + 1;while(cur < right){if(nums[cur] < key) swap(nums[++left], nums[cur++]);else if(nums[cur] == key) cur++;else swap(nums[--right], nums[cur]);}// [l, left] [left + 1, right - 1] [right, r]qsort(nums, l, left);qsort(nums, right, r);}vector<int> sortArray(vector<int>& nums) {srand(time(NULL));qsort(nums, 0, nums.size() - 1);return nums; }
};
215. 数组中的第K个最大元素 - 力扣（LeetCode）(重要)
解法（快速选择算法）：O(N)!!!
算法思路：
在快排中，当我们把数组「分成三块」之后：[l, left] [left + 1, right - 1] [right, r]，我们可以通过计算每一个区间内元素的「个数」，进而推断出我们要找的元素是在「哪一个区间」里面。
那么我们可以直接去「相应的区间」去寻找最终结果就好了。
class Solution {
public:int findKthLargest(vector<int>& nums, int k) {srand(time(NULL));return qsort(nums, 0, nums.size() - 1, k);}int qsort(vector<int>& nums, int l, int r, int k){if(l == r) return nums[l];int key = getRandom(nums, l, r);int left = l - 1, cur = l, right = r + 1;while(cur < right){if(nums[cur] < key) swap(nums[++left], nums[cur++]);else if(nums[cur] == key) cur++;else swap(nums[--right], nums[cur]);} int c = r - right + 1;int b = right - left - 1;if(c >= k) return qsort(nums, right, r, k);else if(b + c >= k) return key;else return qsort(nums, l, left, k - b - c);}int getRandom(vector<int>& nums, int left, int right){return nums[rand() % (right - left + 1) + left];}
};
LCR 159. 库存管理 III - 力扣（LeetCode）
解法（快速选择算法）：
算法思路：
在快排中，当我们把数组「分成三块」之后：[l, left] [left + 1, right - 1] [right, r]，我们可以通过计算每一个区间内元素的「个数」，进而推断出最小的 k 个数在哪些区间里面。
那么我们可以直接去「相应的区间」继续划分数组即可。
class Solution {
public:vector<int> inventoryManagement(vector<int>& nums, int k) {srand(time(NULL));qsort(nums, 0, nums.size() - 1, k);return {nums.begin(),nums.begin() + k};}void qsort(vector<int>& nums, int l, int r, int k){if(l >= r) return;int key = getRandom(nums, l, r);int left = l - 1, right = r + 1, cur = l;while(cur < right){if(nums[cur] < key) swap(nums[++left], nums[cur++]);else if(nums[cur] == key) cur++;else swap(nums[--right], nums[cur]);}int a = left - l + 1;int b = right - left -1;if(a > k) return qsort(nums, l, left, k);else if(a + b >= k) return;else return qsort(nums, right, r, k - a - b);} int getRandom(vector<int>& nums, int left, int right){return nums[rand() % (right- left + 1) + left];}
};