三阶Bezier曲线，已知曲线上一点到曲线起点的距离为L,计算这个点的参数u的方法

1. 曲线定义

三阶（三次）贝塞尔曲线由四个点定义：

• 起点：P₀
• 控制点1：P₁
• 控制点2：P₂
• 终点：P₃

曲线上任意点的坐标由参数 u（0 ≤ u ≤ 1）表示：

B(u) = (1−u)³·P₀ + 3(1−u)²·u·P₁ + 3(1−u)·u²·P₂ + u³·P₃

2. 曲线导数（切向量）

B'(u) = 3(1−u)²·(P₁ − P₀) + 6(1−u)·u·(P₂ − P₁) + 3u²·(P₃ − P₂)

3. 弧长公式

从起点（u=0）到参数 u 处的弧长 s(u) 为：

s(u) = ∫₀ᵘ ‖B'(ξ)‖ dξ

其中 ‖B'(ξ)‖ 表示向量 B'(ξ) 的长度（即欧几里得范数）。

4. 已知弧长 L，求参数 u

给定弧长 L，求对应的参数 u，即求解方程：

s(u) = L

由于该积分没有解析解，必须使用数值方法求解。

5. 推荐数值方法

(1) 牛顿-拉夫逊法（推荐）

迭代公式：

uₙ₊₁ = uₙ − (s(uₙ) − L) / ‖B'(uₙ)‖

• 初始值 u₀ 可设为 L / 总曲线长度（预估）
• s(uₙ) 使用数值积分（如辛普森法）计算
• ‖B'(uₙ)‖ 直接计算向量模长

(2) 预计算弧长表（高效）

• 在 u ∈ [0,1] 上均匀采样，计算每个点的累积弧长
• 构建 (u, s(u)) 查找表
• 给定 L，通过插值（如线性插值）快速找到对应 u

说明：

• 该问题属于弧长参数化（Arc-Length Parameterization） 的逆问题
• 实际应用中建议预处理，避免实时求解积分