[信号与系统个人笔记]第三章 连续时间信号与系统的频域分析 Part 2

Update

• 2025.8.31
  • 3.1 连续时间周期信号的傅里叶级数
• 2025.9.1
  • 3.2 连续时间周期信号的频谱分析
• 2025.9.2
  • 3.3 连续时间信号的傅里叶变换 part1
• 2025.9.3
  • 3.3 连续时间信号的傅里叶变换 part2

3.3 连续时间信号的傅里叶变换

傅里叶变换的定义

频谱密度的引入

• 对于周期信号而言，信号周期$T$越大，频谱谱线越密集，幅度减小
• 信号周期$T$无限大时，周期信号变为非周期信号，谱线无限密集，幅度无穷小，离散谱过度为连续谱，需要改用密度描述频谱特性

傅里叶正变换

已知：
$$F_n=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jn\Omega t}dt$$
当$T\to \infty$：

• $\Omega \to d\omega$，频谱间隔无限密集，变为无穷小量
• $n\Omega \to \omega$，离散频率$\to$连续频率

频谱密度：单位频率的信号频谱值
$$F(j\omega )=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{F_n}{f}=\underset{T\to \infty }{\lim }{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jn\Omega t}dt={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$$
$$傅里叶正变换:F(j\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$$

傅里叶反变换

已知：
$$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{F}_n{e}^{jn\Omega t}=\frac{1}{T}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{F}_{n}T{e}^{jn\Omega t}$$
当$T\to \infty$时：

• $\Omega \to d\omega$，频谱间隔无限密集，变为无穷小量
• $n\Omega \to \omega$，离散频率$\to$连续频率
• ${\lim }_{T\to \infty }{F}_{n}T=F(j\omega )$
• $\frac{1}{T}=\frac{\Omega }{2\pi }\to \frac{d\omega }{2\pi }$
  则：
  $$傅里叶反变换:f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(j\omega )e^{j\omega t}d\omega$$

傅里叶变换对

$$f(t)\leftrightarrow F(j\omega )$$
$$\begin{array}{rl}& 傅里叶正变换:F(j\omega )=\mathcal{F}[f(t)]\\ & \\ & 傅里叶反变换:f(t)={\mathcal{F}}^{-1}[F(j\omega )]\end{array}$$

傅里叶变换存在的充分条件

$$信号满足绝对可积条件:{\int }_{-\infty }^{+\infty }|f(t)|dt<\infty ⟹傅里叶变换存在$$

• 注意此处为充分条件，傅里叶变换存在不一定信号绝对可积
• 阶跃信号$\epsilon (t)$的广义傅里叶变换存在，但不满足绝对可积

常用结论

$$\begin{array}{rl}& F(0)=F(j\omega ){|}_{\omega =0}={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)dt\\ & \\ & f(0)=f(t){|}_{\omega =0}=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(j\omega )d\omega \end{array}$$

频谱密度函数

信号为实函数：
$$\begin{array}{rl}F(j\omega )& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)\cos \omega tdt-j{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)\sin \omega tdt\\ & \\ & =R(\omega )+jX(\omega )\end{array}$$

• 频谱为复函数，含有实部和虚部

$$\{\begin{array}{l}R(\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)\cos \omega tdtR(-\omega )=R(\omega )为\omega 的偶函数\\ \\ X(\omega )=-{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)\sin \omega tdtX(-\omega )=-X(\omega )为\omega 的奇函数\end{array}$$
$$F(j\omega )=|F(j\omega )|e^{j\phi (\omega )}$$
其中：
$$\begin{array}{rl}& |F(j\omega )|=\sqrt{R^2(\omega )+X^2(\omega )}|F(-\omega )|=|F(\omega )|为\omega 的偶函数,具有幅频特性\\ & \\ & \phi (\omega )=\arctan \frac{X(\omega )}{R(\omega )}\phi (-\omega )=-\phi (\omega )为\omega 的奇函数,具有相频特性\end{array}$$

常见信号的傅里叶变换

矩形脉冲（门函数）

$$g_{\tau }(t)=\left[\epsilon \left(t+\frac{\tau }{2}\right)-\epsilon \left(t-\frac{\tau }{2}\right)\right]=\{\begin{array}{l}1|t|\le \frac{\tau }{2}\\ \\ 0|t|>\frac{\tau }{2}\end{array}$$

门函数傅里叶变换推导：
$$\begin{array}{rl}F(j\omega )& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt={\int }_{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}}{e}^{-j\omega t}dt=\frac{1}{-j\omega }{e}^{-j\omega t}{|}_{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}}\\ & \\ & =\frac{2\left(e^{j\omega \frac{\tau }{2}}-e^{-j\omega \frac{\tau }{2}}\right)}{2j\omega }=\frac{2}{\omega }\sin \frac{\omega \tau }{2}\\ & \\ & =\frac{2}{\omega }\cdot \frac{\sin \frac{\omega \tau }{2}}{\frac{\omega \tau }{2}}\cdot \frac{\omega \tau }{2}=\tau Sa\left(\frac{\omega \tau }{2}\right)\end{array}$$
结论：
$$g_{\tau }(t)\leftrightarrow \tau Sa\left(\frac{\omega \tau }{2}\right)$$

• 该频谱为实频谱，实频谱的幅度、相位合二为一

• 有效带宽通过第一过零点可知$B_{\omega }=\frac{2\pi }{\tau }(rad/s)$
  

• 由于频谱为实频谱，幅频特性只需要取绝对值即可

• 由于频谱为实频谱，相频特性只会出现$-\pi ,0,\pi$，分别对应cos⁡θ={−1,1}\cos \theta=\{ -1,1 \}cosθ={−1,1}，即频谱密度为正时相频为$0$，频谱密度为负时相频为$\pi$，负半轴通过原点对称可得$\pi \to -\pi$

特殊结论：
时域有限的信号，频域上无限展宽
不知道啥意思

单边指数信号

$$f(t)=e^{\alpha t}\epsilon (t)=\{\begin{array}{l}{e}^{-\alpha t}t\ge 0\\ \\ 0t<0\end{array}(\alpha >0)$$
单边指数函数傅里叶变换推导：
$$\begin{array}{rl}F(j\omega )& ={\int }_0^{+\infty }{e}^{-\alpha t}\cdot e^{-j\omega t}dt={\int }_0^{+\infty }{e}^{-(\alpha +j\omega )t}dt\\ & \\ & =\frac{1}{-(\alpha +j\omega )}{e}^{-(\alpha +j\omega )t}{|}_0^{+\infty }=\frac{1}{\alpha +j\omega }\end{array}$$
结论：
$$e^{\alpha t}\epsilon (t)\leftrightarrow \frac{1}{\alpha +j\omega }$$

幅频特性：
$$|F(j\omega )|=\left|\frac{1}{\alpha +j\omega }\right|=\frac{1}{|\alpha +j\omega |}=\frac{1}{\sqrt{{\alpha }^2+{\omega }^2}}$$
相频特性：
$$\phi (\omega )=\angle \frac{1}{\alpha +j\omega }=\angle 1-\angle (\alpha +j\omega )=0°-\arctan \frac{\omega }{\alpha }=-\arctan \frac{\omega }{\alpha }$$

偶双边指数信号

$$f(t)=e^{-\alpha |t|}=\{\begin{array}{l}{e}^{-\alpha t}t>0\\ \\ e^{\alpha t}t<0\end{array}(\alpha >0)$$
偶双边指数函数傅里叶变换推导：
$$\begin{array}{rl}F(j\omega )& ={\int }_{-\infty }^0{e}^{\alpha t}\cdot e^{-j\omega t}dt+{\int }_0^{+\infty }{e}^{-\alpha t}\cdot e^{-j\omega t}dt\\ & \\ & ={\int }_{-\infty }^0{e}^{(\alpha -j\omega )t}dt+{\int }_0^{+\infty }{e}^{-(\alpha +j\omega )t}dt\\ & \\ & =\frac{1}{\alpha -j\omega }{e}^{(\alpha -j\omega )t}{|}_{-\infty }^0+\frac{1}{-(\alpha +j\omega )}{e}^{-(\alpha +j\omega )t}{|}_0^{+\infty }\\ & \\ & =\frac{1}{\alpha -j\omega }+\frac{1}{\alpha +j\omega }=\frac{2\alpha }{{\alpha }^2+{\omega }^2}\end{array}$$
结论：
$$e^{-\alpha |t|}\leftrightarrow \frac{2\alpha }{{\alpha }^2+{\omega }^2}(\alpha >0)$$

幅频特性：

• 由于频谱为实频谱，幅频特性直接取绝对值
• $|F(j\omega )|=\frac{2\alpha }{{\alpha }^2+{\omega }^2}$

相频特性：

• 由于频谱为恒正的实频谱，相位恒为0
• $\phi (\omega )=0$

奇双边指数信号

$$f(t)=\{\begin{array}{l}{e}^{-\alpha t}t>0\\ \\ -e^{\alpha t}t<0\end{array}(\alpha >0)$$
奇双边指数函数傅里叶变换推导：
$$\begin{array}{rl}F(j\omega )& =-{\int }_{-\infty }^0{e}^{\alpha t}\cdot e^{-j\omega t}dt+{\int }_0^{+\infty }{e}^{-\alpha t}\cdot t{e}^{-j\omega t}dt\\ & \\ & =\frac{1}{\alpha +j\omega }-\frac{1}{\alpha -j\omega }=\frac{-j\cdot 2\omega }{{\alpha }^2+{\omega }^2}\end{array}$$
结论：
$$\{\begin{array}{l}{e}^{-\alpha t}t>0\\ \\ -e^{\alpha t}t<0\end{array}\leftrightarrow \frac{-j\cdot 2\omega }{{\alpha }^2+{\omega }^2}(\alpha >0)$$

幅频特性：

• 由于频谱为虚频谱，幅频特性即为频谱去掉虚数单位后取绝对值
• $|F(j\omega )|=\frac{2|\omega |}{{\alpha }^2+{\omega }^2}$

相频特性：

• 由于频谱为虚频谱，三角展开为$j\sin \theta$，则相频取$\theta =\left\{-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right\}$对应着频谱取{−j,j}\{ -j,j \}{−j,j}
  $$\phi (\omega )=\{\begin{array}{l}\frac{\pi }{2}\omega <0\\ \\ -\frac{\pi }{2}\omega >0\end{array}$$

冲激信号及其导数

*傅里叶变换的时域微分性质

设函数$f(t)$的傅里叶变换为$F(\omega )$：
F{f(t)}=F(ω)=∫−∞+∞f(t)e−jωtdt \mathcal{F}\{ f(t) \}=F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt F{f(t)}=F(ω)=∫−∞+∞​f(t)e−jωtdt
且$f(t)$及其各阶导数绝对可积，则有：
F{f(n)(t)}=(jω)nF(ω) \mathcal{F}\{ f^{(n)}(t) \}=(j\omega)^{n}F(\omega) F{f(n)(t)}=(jω)nF(ω)
推导关键在于：

• ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)dt<\infty ⟹{\lim }_{t\to \infty }f(t)=0$
• 对原积分采用分部积分，常数项为$f^{(n-1)}(t)e^{-j\omega t}{|}_{-\infty }^{+\infty }=0$
• 可以得到递推${\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}^{(n)}(t)e^{-j\omega t}dt=(j\omega ){\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}^{(n-1)}(t)e^{-j\omega t}dt$

冲激信号傅里叶变换推导：
$$\begin{array}{rl}F(j\omega )& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t)e^{-j\omega t}dt=e^{-j\omega t}{|}_{t=0}=1\\ & \\ 即:& \delta (t)\leftrightarrow 1\end{array}$$
由于F{f(n)(t)}=(jω)n∫−∞+∞f(t)e−jωtdt:F{δ(n)(t)}=(jω)n∫−∞+∞δ(t)e−jωtdt=(jω)n即:δ(n)(t)↔(jω)n \begin{align} &由于\mathcal{F}\{ f^{(n)}(t) \}=(j\omega)^{n}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt:\\ \\ &\mathcal{F}\{ \delta^{(n)}(t) \}=(j\omega)^{n}\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)e^{-j\omega t}dt=(j\omega)^{n}\\ \\ &即:\quad \delta^{(n)}(t)\leftrightarrow (j\omega)^{n} \end{align} ​由于F{f(n)(t)}=(jω)n∫−∞+∞​f(t)e−jωtdt:F{δ(n)(t)}=(jω)n∫−∞+∞​δ(t)e−jωtdt=(jω)n即:δ(n)(t)↔(jω)n​​

直流信号$f(t)=A$

直流信号傅里叶变换推导过程：
F−1{δ(ω)}=12π∫−∞+∞δ(ω)ejωtdω=12πejωt∣ω=0=12π则:12π↔δ(ω)  ⟹  1↔2πδ(ω)  ⟹  A↔2πAδ(ω) \begin{align} &\mathcal{F}^{-1}\{ \delta(\omega) \}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(\omega)e^{j\omega t}d\omega=\frac{1}{2\pi}e^{j\omega t}\bigg|_{\omega=0}=\frac{1}{2\pi}\\ \\ &则: \frac{1}{2\pi}\leftrightarrow \delta(\omega)\implies 1\leftrightarrow 2\pi \delta(\omega)\implies A\leftrightarrow 2\pi A\delta(\omega) \end{align} ​F−1{δ(ω)}=2π1​∫−∞+∞​δ(ω)ejωtdω=2π1​ejωt​ω=0​=2π1​则:2π1​↔δ(ω)⟹1↔2πδ(ω)⟹A↔2πAδ(ω)​​

• 直流信号的傅里叶变换的推导过程借助了反傅里叶变换逆推而来
• 常数函数$f(t)=A$的傅里叶变换为$2\pi A\delta (\omega )$，然而${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)dt=\infty$并不是绝对可积，这再次印证绝对可积是傅里叶变换的充分条件
• 冲激信号和常数的时、频特性存在对称性
  • 冲激信号的傅里叶变换为常数$\delta (t)\leftrightarrow 1$
  • 常数的傅里叶变换为冲激信号$1\leftrightarrow 2\pi \delta (\omega )$

符号函数

$$sgn(t)=\{\begin{array}{l}-1t<0\\ \\ 1t>0\end{array}$$
符号函数傅里叶变换推导过程：
$$\begin{array}{rl}& 设f_{\alpha }(t)=\{\begin{array}{l}{e}^{-\alpha t}t>0\\ \\ -e^{\alpha t}t<0\end{array}(\alpha >0)\\ & \\ & 则f_{\alpha }(t)\leftrightarrow \frac{-j\cdot 2\omega }{{\alpha }^2+{\omega }^2}(\alpha >0)\\ & \\ & 而sgn(t)=\underset{\alpha \to 0}{\lim }{f}_{\alpha }(t)\\ & \\ & 则sgn(t)\stackrel{广义傅里叶变换}{\leftrightarrow }\underset{\alpha \to 0}{\lim }\frac{-j\cdot 2\omega }{{\alpha }^2+{\omega }^2}=\frac{2}{j\omega }\end{array}$$

推导关键：

• 利用了奇双边指数信号在$\alpha \to 0$时趋近于$sgn(t)$的特性进行推导
• $sgn(t)\leftrightarrow \frac{2}{j\omega }$在广义傅里叶变换下成立

阶跃函数

$$\epsilon (t)=\{\begin{array}{l}1t>0\\ \\ 0t<0\end{array}$$
阶跃函数傅里叶变换推导过程：
$$\begin{array}{rl}& 由\epsilon (t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}sgn(t):\\ & \\ & \epsilon (t)\stackrel{广义傅里叶变换}{\leftrightarrow }\pi \delta (\omega )+\frac{1}{j\omega }\end{array}$$

• 利用$\epsilon (t)$与符号函数的关系从而得到傅里叶变换

总结

傅里叶正变换:F(jω)=F{f(t)}=∫−∞+∞f(t)e−jωtdt傅里叶反变换:f(t)=F−1{F(jω)}=12π∫−∞+∞F(jω)ejωtdω时域t⇌傅里叶反变换傅里叶正变换频域ω \begin{align} &傅里叶正变换:F(j\omega)=\mathcal{F}\{ f(t) \}=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt\\ \\ &傅里叶反变换:f(t)=\mathcal{F}^{-1}\{ F(j\omega) \}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(j\omega)e^{j\omega t}d\omega\\ \\ & 时域t\xrightleftharpoons[\text{傅里叶反变换}]{\text{傅里叶正变换}}频域\omega \end{align} ​傅里叶正变换:F(jω)=F{f(t)}=∫−∞+∞​f(t)e−jωtdt傅里叶反变换:f(t)=F−1{F(jω)}=2π1​∫−∞+∞​F(jω)ejωtdω时域t傅里叶正变换傅里叶反变换​频域ω​​
$$\begin{array}{rl}& 门函数:g_{\tau }(t)\leftrightarrow \tau Sa\left(\frac{\omega \tau }{2}\right)\\ & \\ & 单边指数信号:e^{-\alpha t}\epsilon (t)\leftrightarrow \frac{1}{\alpha +j\omega }(\alpha >0)\\ & \\ & 偶双边指数信号:e^{-\alpha |t|}\leftrightarrow \frac{2\alpha }{{\alpha }^2+{\omega }^2}(\alpha >0)\\ & \\ & 奇双边指数信号:\{\begin{array}{l}{e}^{-\alpha t}t>0\\ \\ -e^{\alpha t}t<0\end{array}\leftrightarrow \frac{-j\cdot 2\omega }{{\alpha }^2+{\omega }^2}(\alpha >0)\\ & \\ & 冲激信号及其导数:\{\begin{array}{l}\delta (t)\leftrightarrow 1\\ \\ {\delta }^{(n)}(t)\leftrightarrow (j\omega {)}^n\end{array}\\ & \\ & 直流信号:1\leftrightarrow 2\pi \delta (\omega )\\ & \\ & 符号函数:sgn(t)\leftrightarrow \frac{2}{j\omega }\\ & \\ & 阶跃函数:\epsilon (t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}sgn(n)\leftrightarrow \pi \delta (\omega )+\frac{1}{j\omega }\end{array}$$