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C++ 面试高频考点力扣 852. 山脉数组的峰顶索引二分查找题解每日一题

news 2025/9/4 20:45:01

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题目描述
为什么这道题值得弄懂？
为什么可以用二分？
二分查找的核心思路：基于“递增/递减段”划分区间
代码实现
总结：二分查找的关键细节复盘
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题目描述

题目链接：
力扣852. 山脉数组的峰顶索引

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题目描述：
给定一个长度为 n 的整数山脉数组 arr ，其中的值递增到一个峰值元素然后递减。
返回峰值元素的下标。
你必须设计并实现时间复杂度为 O(log(n)) 的解决方案。

示例 1:
输入: arr = [0,1,0]
输出: 1

示例 2:
输入: arr = [0,2,1,0]
输出: 1

示例 3:
输入: arr = [0,10,5,2]
输出: 1

注意：
3 <= arr.length <= 105
0 <= arr[i] <= 106
题目数据保证 arr 是一个山脉数组

为什么这道题值得弄懂？

这道题是二分查找的经典**“单调性分段”问题**——山脉数组虽整体不单调，但可根据“峰顶左侧递增、右侧递减”的特性，划分出具有明确规律的两段区间。通过这道题，能进一步掌握“如何根据题目特性定义二分的判断条件”，并强化对“指针移动逻辑”“边界初始化”等细节的理解，为解决更复杂的分段查找问题（如旋转数组查找）打下基础。

为什么可以用二分？

二分查找的核心是利用数组的“二段性”——将数组分为“满足某条件”和“不满足某条件”的两部分，每次舍弃其中一部分，从而将时间复杂度压缩到 O(log n)。

本题中，山脉数组的“二段性”体现在：

对于任意下标 mid，若 arr[mid] < arr[mid + 1]：说明 mid 处于递增段，峰顶一定在 mid 的右侧（包括 mid + 1）；
若 arr[mid] > arr[mid + 1]：说明 mid 处于递减段，峰顶一定在 mid 的左侧（包括 mid）。

基于此特性，我们可通过二分不断缩小区间，最终定位到唯一的峰顶下标。

二分查找的核心思路：基于“递增/递减段”划分区间

本题的核心是通过 arr[mid] 与 arr[mid + 1] 的大小关系，判断 mid 所在的分段，进而确定峰顶的位置范围，逐步缩小区间。

1. 关键细节：边界初始化（为什么 left=1，right=arr.size()-2？）
题目明确给出两个关键条件：

山脉数组严格递增后严格递减，且长度 ≥ 3；
峰顶下标 i 满足 0 < i < arr.length - 1（即峰顶不可能是数组的第一个或最后一个元素）。

因此，我们无需从 0 和 arr.size()-1 开始查找，直接将初始边界设为：

left = 1：排除第一个元素（不可能是峰顶）；
right = arr.size() - 2：排除最后一个元素（不可能是峰顶）。

这一初始化不仅减少了不必要的查找次数，还避免了后续判断中“mid+1 越界”的风险（因 right 最大为 arr.size()-2，mid 最大为 arr.size()-2，mid+1 最大为 arr.size()-1，属于合法下标）。

2. 二段性划分与判断条件
以 arr[mid] < arr[mid + 1] 作为核心判断条件，将数组分为两段：

满足条件（递增段）：arr[mid] < arr[mid + 1] → 峰顶在 mid 右侧（mid + 1 到 right）；
不满足条件（递减段）：arr[mid] > arr[mid + 1] → 峰顶在 mid 左侧（left 到 mid）。

示例：若 arr = [0,10,5,2]，取 mid = 1（left=1, right=2）：

arr[1] = 10，arr[2] = 5，满足 arr[mid] > arr[mid + 1] → 峰顶在 left=1 到 mid=1 之间，直接定位到峰顶。

3. 指针移动逻辑
根据上述二段性划分，指针移动规则如下：

当 arr[mid] < arr[mid + 1] 时：mid 在递增段，峰顶一定在 mid 右侧，因此舍弃左侧区间（包括 mid），将 left 更新为 mid + 1；
当 arr[mid] > arr[mid + 1] 时：mid 在递减段，峰顶一定在 mid 左侧（或 mid 本身），因此舍弃右侧区间（不包括 mid），将 right 更新为 mid。

关键逻辑：为什么 arr[mid] > arr[mid + 1] 时 right = mid？
因为 mid 有可能就是峰顶（例如 arr = [0,2,1]，mid=1 时 arr[1] > arr[2]，mid 本身就是峰顶），若将 right 更新为 mid - 1，会漏掉峰顶，导致结果错误。

4. 循环结束条件
循环条件设为 left < right，当 left == right 时，区间缩小到唯一元素，该元素就是峰顶的下标，循环结束。

至于为什么无需进一步判断，是因为二分的每一步都严格根据“递增/递减段”缩小范围，最终 left 和 right 会收敛到唯一的峰顶下标，无需额外验证。

5. 中间值（mid）的取法
采用向下取整：mid = left + (right - left) / 2（等价于 (left + right) // 2，避免整数溢出）。

~~为什么不用向上取整？~~
若用向上取整（mid = left + (right - left + 1) / 2），当区间长度为 2 时（如 left=1, right=2，arr = [0,3,2]）：

计算 mid = 1 + (2-1+1)/2 = 2；
因 arr[2] > arr[3]（此处 arr[3] 不存在，实际 mid=2 是 right 边界，arr[2] > arr[3] 不成立，实际判断为 arr[2] > arr[3] 会越界？不，实际 right 最大为 arr.size()-2，mid 最大为 arr.size()-2，mid+1 为 arr.size()-1，合法）。
更关键的问题是：当 left=1, right=2 且 arr[1] < arr[2] 时（如 arr = [0,1,3,2]，left=1, right=2）：
向上取整 mid=2，判断 arr[2] > arr[3]（成立），则 right=2；
此时 left=1 < right=2，循环继续，再次计算 mid=1 + (2-1+1)/2=2，陷入死循环。

而向下取整可避免此问题：

同样 left=1, right=2，mid=1 + (2-1)/2=1；
若 arr[1] < arr[2]，则 left=mid+1=2，此时 left==right，循环结束，无死循环。

代码实现

class Solution {
public:int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr) {// 边界初始化：排除首尾元素（不可能是峰顶）int left = 1, right = arr.size() - 2;// 循环缩小区间，直到left == right（定位到峰顶）while (left < right) {// 中间值向下取整，避免死循环int mid = left + (right - left) / 2;if (arr[mid] < arr[mid + 1]) {// mid在递增段，峰顶在右侧，舍弃左侧left = mid + 1;} else {// mid在递减段，峰顶在左侧（含mid），舍弃右侧right = mid;}}// 循环结束时，left == right，即为峰顶下标return left;}
};

总结：二分查找的关键细节复盘

边界初始化要结合题目条件：利用“峰顶不可能是首尾元素”的特性，将 left 设为 1、right 设为 arr.size()-2，减少查找次数并避免越界；
判断条件要紧扣“二段性”：通过 arr[mid] 与 arr[mid+1] 的大小关系，明确 mid 所在的分段（递增/递减），进而确定峰顶的范围；
指针移动要避免“漏解”：当 arr[mid] > arr[mid+1] 时，right = mid（而非 mid-1），防止漏掉 mid 本身就是峰顶的情况；
中间值取整要匹配循环逻辑：因 left 可能更新为 mid+1、right 可能更新为 mid，需用向下取整避免区间长度为 2 时的死循环。