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【LeetCode 热题 100】64. 最小路径和——（解法二）递推

news 2025/9/4 8:14:04

Problem: 64. 最小路径和

文章目录

整体思路
完整代码
# 时空复杂度
- 时间复杂度：O(m * n)
- 空间复杂度：O(m * n)

整体思路

这段代码同样旨在解决 “最小路径和” 问题，但它采用的是一种 自底向上（Bottom-Up）的动态规划 方法，也称为 迭代法 或 制表法 (Tabulation)。这种方法通过构建一个DP表（dp 二维数组），从起点开始，逐步计算出到达每个格子的最小路径和，最终得到终点的答案。

该实现通过巧妙地增加DP数组的维度并设置哨兵值，将边界条件的处理融入到统一的状态转移方程中，使得代码结构清晰。

状态定义与索引映射：
- 算法定义了一个二维DP数组 dp，大小为 (m+1) x (n+1)。
- dp[i][j] 的含义是：从起点 grid[0][0] 到达网格中的点 grid[i-1][j-1] 的最小路径和。
- 这是一个索引偏移的技巧。dp 数组的索引 (i, j) 对应了 m x n 网格中的索引 (i-1, j-1)。
基础情况与边界处理 (Base Cases & Boundary Handling)：
- 设置“墙壁”：代码首先将 dp 数组的第0行和第0列（除了 dp[0][0] 或 dp[1][0] 等）填充为 Integer.MAX_VALUE。这相当于在网格的上方和左方建立了一堵无限高的“墙”，确保路径只能从有效的格子内部过来，而不会从“网格外部”以一个较小的值（比如0）进入计算，从而干扰 Math.min 的结果。
- 设置起点：if (i == 0 && j == 0) 这个条件在循环内部处理了起点。dp[1][1] 被设置为 grid[0][0] 的值。这是整个DP计算的起点。
状态转移 (State Transition)：
- 算法使用两层嵌套循环来填充DP表。循环变量 i 和 j 对应的是 m x n 网格的索引。
- 在循环的每一步，计算 dp[i+1][j+1] 的值。
- 状态转移方程是 dp[i + 1][j + 1] = Math.min(dp[i][j + 1], dp[i + 1][j]) + grid[i][j]。
- 我们来解析这个方程：
  - 要到达 grid[i][j]（对应 dp[i+1][j+1]），只能从其上方的 grid[i-1][j]（对应 dp[i][j+1]）或左方的 grid[i][j-1]（对应 dp[i+1][j]）过来。
  - 因此，到达 grid[i][j] 的最小路径和，等于 grid[i][j] 的值加上“到达上方格子的最小路径和”与“到达左方格子的最小路径和”中的较小者。
  - 由于我们在第0行和第0列设置了极大值，当 i=0 时，dp[i][j+1] (即dp[0][j+1]) 是极大值，Math.min 会自动选择 dp[i+1][j]，正确地处理了第一行的情况。对第一列同理。
返回结果：
- 当所有循环结束后，dp 数组已经完全填充。我们需要的最终答案，即到达终点 grid[m-1][n-1] 的最小路径和，就存储在 dp[m][n] 中。

完整代码

import java.util.Arrays;class Solution {/*** 计算从 m x n 网格左上角到右下角的最小路径和。* @param grid 包含非负整数的二维网格* @return 最小路径和*/public int minPathSum(int[][] grid) {int m = grid.length;int n = grid[0].length;// dp[i][j]: 表示从起点到网格 (i-1, j-1) 的最小路径和。// 使用 m+1, n+1 的大小是为了用第0行和第0列作为边界“墙”。int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];// 初始化边界：将第0行设为极大值，作为上方的“墙”。Arrays.fill(dp[0], Integer.MAX_VALUE);// 遍历原始网格的行for (int i = 0; i < m; i++) {// 初始化边界：将每行的第0列设为极大值，作为左方的“墙”。dp[i + 1][0] = Integer.MAX_VALUE;// 遍历原始网格的列for (int j = 0; j < n; j++) {// 处理起点 (0,0) 的特殊情况if (i == 0 && j == 0) {// dp[1][1] 对应网格 (0,0)，其最小路径和就是它自身的值。dp[1][1] = grid[i][j];} else {// 状态转移方程：// 到达网格 (i,j) 的最小路径和，等于// min(到达上方格子的最小和, 到达左方格子的最小和) + 当前格子的值。// dp[i][j+1] -> 上方格子// dp[i+1][j] -> 左方格子dp[i + 1][j + 1] = Math.min(dp[i][j + 1], dp[i + 1][j]) + grid[i][j];}}}// 最终答案是到达网格 (m-1, n-1) 的路径数，对应 dp[m][n]。return dp[m][n];}
}

# 时空复杂度

时间复杂度：O(m * n)

循环结构：算法使用了两层嵌套的 for 循环。
- 外层循环从 i = 0 运行到 m-1，执行 m 次。
- 内层循环从 j = 0 运行到 n-1，执行 n 次。
计算依据：
- 总的操作次数是内外层循环次数的乘积，即 m * n。初始化边界的操作复杂度是 O(m+n)，被 m*n 主导。