数值分析——非线性方程与方程组的数值解法之二分法

非线性方程与方程组的数值解法——二分法

主要讨论非线性方程，也就是f(x)=0的情形，并且解都是实数，虚根和复根不属于讨论的范围。

f(x) = 0 ，其中x∈R，f(x)是连续函数，如果存在一个 x* 可以使得 f(x*) = 0 ，则我们就说x*是方程f(x)=0的根，从函数角度来说就是函数f(x)的零点。

进一步的，如果有： f(x) = (x - x*)^m g(x) ，m∈N⁺（也就是m∈正整数），并且 g(x) ≠ 0 ，当 m = 1时，x* 就是这个方程的单根，或者也叫做函数 f(x) 的单零点，当 m ≥ 2 时，x* 就是方程的m重根，或者叫做函数 f(x) 的m重零点。
一般来讲，方程的最高次方其实就代表着有多少个解。

求根的步骤是先用图解法、解析法、定步长搜索法、近似方程法等方法搜索到根，再进一步将得到的根进行精确化。

或者也可以说第一步是对根进行隔离，得到隔离区间，第二步就是将近似值进行精确化。

二分法

逐步将含根的区间进行二等分，通过区间端点的函数值符号来进一步搜索含根区间，就这样反复进行区间分半后，最终使含根区间长度缩小到充分小，在这样一个足够小的区间内，方程有且仅有一个根，从而就可以求得满足给定精度要求的根的近似值。

图例说明：
f(x)=0，f(x) 是连续函数，假设 f(a) > 0，f(b) < 0， 那么 f(a) f(b) ＜0，此时选取a 与 b 的中点，假设a,b的中点为 a1，也就是a1 = (a+b)/2，先验证a1是否是零点，计算方程在a1处的值是否为0，

如果是零点就直接找到了方程的根，不是方程的零点时，就要看f(a1) 的正负号了，假设f(a1) >0，那么有 f(a1) f(b) ＜0，此时根的区间就重新选取为 [ a1,b]，为了方便后面步骤的观察，重新令 b=b1，那么：

此时就有 f(a1) f(b1) ＜0，根在区间[ a1,b1]中，再取a1,b1的中点，假设为a2，也就是a2=(a1+b1)/2，再次判断a2这个点处是否是零点，（一般情况下没有那么简单，试一两次就直接试出来根的），不是根就再次判断a2处的函数值正负号，假设f(a2)>0，那么就有f(a2)f(b1)<0，根就在[a2,b1] 的区间中，令b1 = b2，那么：

得到一个新的根的隔离区间就是[a2,b2]，以此类推，越分最后得到的区间就会越来越小，假设分了第 k 次后得到的根的隔离区间为[ak,bk]：

此时，确定x*在这个区间内，在二分的过程中，每一次区间长的变化就是：

b - a，（b-a）/ 2，（b-a）/ 2²，（b-a）/ 2³···（b-a）/ 2^k，精确值x的近似取值就是：x = (a^K + b^k ) / 2，由于x,x*都是在[ak,bk] 区间内，

因此就有：
|x*- x| ≤ （bk - ak）/ 2
又因为一共分了k 次，所以[ak,bk]这个区间的长度就是（b - a）/ 2^k，那么x与x 的区间长度关系就是：
|x- x| ≤（b - a）/ 2^k+1，
又因为精确度是已知的（题目中都会具体给出要求）：|x*- x| ≤ γ，这时就可以得到一个关系式：
（b - a）/ 2^k+1 ≤ γ，里面一共就只有一个未知数k，计算出来即可。

以上是理论理解部分，接下来上个🌰（例子），实战一下…
eg：
用二分法求方程 f(x) = x³ - x - 1 = 0 在区间[1,2]内的实根，要求精确到10^-2，求一共需要多少次二分，并求出具有三位有效数的近似根。

有时候题目中也会说：要得到三位有效数字，意思是一样的，因为是三位有效数字，根的区间是（1,2），所以根的形式就是1.xxxxx，故根的第一位肯定不是0，所以要往小数点后面再数两位，最后确定根的形式就是1.xx，所以就有γ≤10^-2。

解：
（1）首先，由于f(1)<0，f(2)>0，故在[1,2]内一定有一个根，又因为在区间[1,2]内f ’ (x)= 3x²-1>0,因此[1,2]区间内有且仅有一个实根。
根据公式：
（b - a）/ 2^k+1 ≤ γ=10^-2，
此时，a=1,b=2，所以代入之后就可以得到：
1/ 2^k+1 ≤ 10^-2
解出k=6，因此就意味着需要6次二分法。
求解过程如下图

（2）按照二分的步骤，比较f(x)的正负号可以可到如下图所示的过程：

未完待更哦~~~
：）