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【多项式】快速沃尔什变换 (FWT)

news 2025/8/31 18:39:12

快速沃尔什变换（Fast Walsh Transform, FWT）是一种用于高效计算序列卷积的算法，特别适用于按位运算（如异或、与、或）定义的卷积。它在组合数学、概率论、信号处理和算法竞赛中有着重要应用。

1. 问题引入：什么是按位卷积？

1.1 普通卷积回顾

在学习FFT（快速傅里叶变换）时，我们处理的是加法卷积：
$c_k = \sum_{i+j=k} a_i \cdot b_j$
FFT可以将时间复杂度从 $O(n^2)$ 优化到 $\log n)$ 。

1.2 按位卷积

现在考虑以下三种按位运算卷积：

(1) 按位或卷积（OR Convolution）

$c_k = \sum_{i \mid j = k} a_i \cdot b_j$

(2) 按位与卷积（AND Convolution）

$c_k = \sum_{i \& j = k} a_i \cdot b_j$

(3) 按位异或卷积（XOR Convolution）

$c_k = \sum_{i \oplus j = k} a_i \cdot b_j$

这些卷积无法直接用FFT解决，因为按位运算不满足加法的线性性质。FWT就是为了解决这类问题而设计的。

2. FWT 的核心思想

FWT 的核心思想是：

通过线性变换，将按位卷积转换为逐点乘积，类似于FFT将加法卷积转换为逐点乘积。

即：
$\text{FWT}(C) = \text{FWT}(A) \circ \text{FWT}(B)$
其中 $∘\circ$ 表示逐点乘积。

然后通过逆变换得到结果：
$\text{IFWT}(\text{FWT}(A) \circ \text{FWT}(B))$

3. FWT 的数学基础

3.1 变换的本质

FWT 是一种线性变换，可以表示为矩阵乘法：
$A^=M⋅A \hat{A} = M \cdot A$
其中 $M$ 是一个 $\times n$ 的变换矩阵（ $n = 2^m$ ， $m$ 是位数）。

对于三种运算， $M$ 的结构不同。

3.2 分治结构

FWT 利用分治策略，类似于FFT。假设序列长度为 $2^n$ ，我们可以将其分为前半部分和后半部分（对应最高位为0和1）。

4. 三种 FWT 的详细推导

我们以长度 $n = 2^m$ 的序列为例。

4.1 按位或卷积 (OR Convolution)

目标：

$c_k = \sum_{i \mid j = k} a_i b_j$

变换定义（FWT）：

设 $A$ 是原序列， $FWT(A)\text{FWT}(A)$ 定义为：
$\text{FWT}(A)[i] = \sum_{j \subseteq i} A[j]$
即子集和。

分治实现：

将序列分为两部分：

$A_0$ ：最高位为0的部分
$A_1$ ：最高位为1的部分

则变换后：

$FWT(A)0=FWT(A0)\text{FWT}(A)_0 = \text{FWT}(A_0)$
$FWT(A)1=FWT(A0)+FWT(A1)\text{FWT}(A)_1 = \text{FWT}(A_0) + \text{FWT}(A_1)$

逆变换（IFWT）：

$A0=IFWT(FWT(A)0)A_0 = \text{IFWT}(\text{FWT}(A)_0)$
$A1=IFWT(FWT(A)1−FWT(A)0)A_1 = \text{IFWT}(\text{FWT}(A)_1 - \text{FWT}(A)_0)$

变换矩阵：

对于 $n = 2$ ，矩阵为：
$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

4.2 按位与卷积 (AND Convolution)

目标：

$c_k = \sum_{i \& j = k} a_i b_j$

变换定义：

$\text{FWT}(A)[i] = \sum_{i \subseteq j} A[j]$
即超集和。

分治实现：

$FWT(A)0=FWT(A0)+FWT(A1)\text{FWT}(A)_0 = \text{FWT}(A_0) + \text{FWT}(A_1)$
$FWT(A)1=FWT(A1)\text{FWT}(A)_1 = \text{FWT}(A_1)$

逆变换：

$A0=IFWT(FWT(A)0−FWT(A)1)A_0 = \text{IFWT}(\text{FWT}(A)_0 - \text{FWT}(A)_1)$
$A1=IFWT(FWT(A)1)A_1 = \text{IFWT}(\text{FWT}(A)_1)$

变换矩阵：

$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

4.3 按位异或卷积 (XOR Convolution)

这是最复杂也最常用的一种。

目标：

$c_k = \sum_{i \oplus j = k} a_i b_j$

变换定义（Walsh-Hadamard Transform）：

$\text{FWT}(A)[i] = \sum_{j=0}^{n-1} (-1)^{\text{popcount}(i \& j)} A[j]$

分治实现：

$FWT(A)0=FWT(A0)+FWT(A1)\text{FWT}(A)_0 = \text{FWT}(A_0) + \text{FWT}(A_1)$
$FWT(A)1=FWT(A0)−FWT(A1)\text{FWT}(A)_1 = \text{FWT}(A_0) - \text{FWT}(A_1)$

逆变换：

$A0=IFWT(FWT(A)0+FWT(A)12)A_0 = \text{IFWT}\left(\frac{\text{FWT}(A)_0 + \text{FWT}(A)_1}{2}\right)$
$A1=IFWT(FWT(A)0−FWT(A)12)A_1 = \text{IFWT}\left(\frac{\text{FWT}(A)_0 - \text{FWT}(A)_1}{2}\right)$

注意：逆变换需要除以2。

变换矩阵：

$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$

5. C++ 实现

以下是三种 FWT 的完整 C++ 实现：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;typedef long long ll;
const int MOD = 998244353; // 常用模数
const int INV2 = (MOD + 1) / 2; // 2的逆元，因为 (MOD+1) % 2 == 0class FWT {
public:// 快速幂（用于求逆元）static ll pow_mod(ll a, ll b) {ll res = 1;while (b) {if (b & 1) res = res * a % MOD;a = a * a % MOD;b >>= 1;}return res;}// 按位或卷积 FWTstatic void fwt_or(vector<ll>& a, bool inv) {int n = a.size();for (int len = 1; 2 * len <= n; len <<= 1) {for (int i = 0; i < n; i += 2 * len) {for (int j = 0; j < len; j++) {ll u = a[i + j];ll v = a[i + j + len];if (!inv) {// 正变换: a[i+j+len] += a[i+j]a[i + j + len] = (u + v) % MOD;} else {// 逆变换: a[i+j+len] -= a[i+j]a[i + j + len] = (v - u + MOD) % MOD;}}}}}// 按位与卷积 FWTstatic void fwt_and(vector<ll>& a, bool inv) {int n = a.size();for (int len = 1; 2 * len <= n; len <<= 1) {for (int i = 0; i < n; i += 2 * len) {for (int j = 0; j < len; j++) {ll u = a[i + j];ll v = a[i + j + len];if (!inv) {// 正变换: a[i+j] += a[i+j+len]a[i + j] = (u + v) % MOD;} else {// 逆变换: a[i+j] -= a[i+j+len]a[i + j] = (u - v + MOD) % MOD;}}}}}// 按位异或卷积 FWTstatic void fwt_xor(vector<ll>& a, bool inv) {int n = a.size();for (int len = 1; 2 * len <= n; len <<= 1) {for (int i = 0; i < n; i += 2 * len) {for (int j = 0; j < len; j++) {ll u = a[i + j];ll v = a[i + j + len];a[i + j] = (u + v) % MOD;a[i + j + len] = (u - v + MOD) % MOD;// 如果是逆变换，则除以2if (inv) {a[i + j] = a[i + j] * INV2 % MOD;a[i + j + len] = a[i + j + len] * INV2 % MOD;}}}}}// 三种卷积的完整接口// A[i] = sum_{j|k=i} a[j] * b[k]static vector<ll> or_convolution(vector<ll> a, vector<ll> b) {fwt_or(a, false);fwt_or(b, false);int n = a.size();for (int i = 0; i < n; i++) {a[i] = a[i] * b[i] % MOD;}fwt_or(a, true);return a;}// A[i] = sum_{j&k=i} a[j] * b[k]static vector<ll> and_convolution(vector<ll> a, vector<ll> b) {fwt_and(a, false);fwt_and(b, false);int n = a.size();for (int i = 0; i < n; i++) {a[i] = a[i] * b[i] % MOD;}fwt_and(a, true);return a;}// A[i] = sum_{j^k=i} a[j] * b[k]static vector<ll> xor_convolution(vector<ll> a, vector<ll> b) {fwt_xor(a, false);fwt_xor(b, false);int n = a.size();for (int i = 0; i < n; i++) {a[i] = a[i] * b[i] % MOD;}fwt_xor(a, true);return a;}
};// 辅助函数：扩展序列到2的幂
vector<ll> extend_to_power_of_two(const vector<ll>& a) {int n = 1;while (n < (int)a.size()) n <<= 1;vector<ll> res(n, 0);for (int i = 0; i < (int)a.size(); i++) {res[i] = a[i];}return res;
}// 测试函数
int main() {// 示例：计算异或卷积vector<ll> a = {1, 2, 3, 4};vector<ll> b = {1, 1, 1, 1};// 扩展到2的幂a = extend_to_power_of_two(a);b = extend_to_power_of_two(b);cout << "Original a: ";for (ll x : a) cout << x << " ";cout << endl;cout << "Original b: ";for (ll x : b) cout << x << " ";cout << endl;// 计算异或卷积vector<ll> c = FWT::xor_convolution(a, b);cout << "XOR Convolution result: ";for (ll x : c) cout << x << " ";cout << endl;// 验证手动计算// c[0] = a[0]*b[0] + a[1]*b[1] + a[2]*b[2] + a[3]*b[3] = 1*1 + 2*1 + 3*1 + 4*1 = 10// c[1] = a[0]*b[1] + a[1]*b[0] + a[2]*b[3] + a[3]*b[2] = 1*1 + 2*1 + 3*1 + 4*1 = 10// c[2] = a[0]*b[2] + a[1]*b[3] + a[2]*b[0] + a[3]*b[1] = 1*1 + 2*1 + 3*1 + 4*1 = 10// c[3] = a[0]*b[3] + a[1]*b[2] + a[2]*b[1] + a[3]*b[0] = 1*1 + 2*1 + 3*1 + 4*1 = 10// 实际上所有位置都是10，因为b全为1return 0;
}