《动手学深度学习v2》学习笔记 | 2.3 线性代数
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目录
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2.3 线性代数
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2.3.1 标量
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2.3.2 向量
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2.3.3 矩阵
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2.3.4 张量
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2.3.5 张量算法的基本性质
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2.3.6 降维
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2.3.7 点积（Dot Product）
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2.3.8 矩阵-向量积
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2.3.9 矩阵-矩阵乘法
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2.3.10 范数
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2.3 线性代数
参考资料：
视频：https://www.bilibili.com/video/BV1eK4y1U7Qy
教材：https://zh.d2l.ai/chapter_preliminaries/linear-algebra.html#sec-linear-algebra
2.3.1 标量
代码实现：
标量由只有一个元素的张量表示。
import torchx = torch.tensor(3.0)
y = torch.tensor(2.0)
x + y, x * y, x / y, x**y
# (tensor(5.), tensor(6.), tensor(1.5000), tensor(9.))
2.3.2 向量
简单操作：
长度：
即 L2范数
代码实现：
向量可以被视为标量值组成的列表。
x = torch.arange(4)
x
# tensor([0, 1, 2, 3])
我们可以使用下标来引用向量的任一元素。
x[3]
# tensor(3)
在数学中，向量 可以写为：
访问向量的长度
len(x)
# 4
向量是只有一个轴的张量，形状只有一个元素。
x.shape
# torch.Size([4])
2.3.3 矩阵
简单操作：
范数：
取决于如何衡量 和 的长度
常见范数：
-
矩阵范数：最小的满足上面公式的值
-
Frobenius 范数：
特殊矩阵:
特征向量和特征值：
代码实现：
通过指定两个分量 和 来创建一个形状为 的矩阵
A = torch.arange(20).reshape(5, 4)
A
# tensor([[ 0, 1, 2, 3],
# [ 4, 5, 6, 7],
# [ 8, 9, 10, 11],
# [12, 13, 14, 15],
# [16, 17, 18, 19]])
当我们交换矩阵的行和列时，结果称为矩阵的转置（transpose）。通常用 来表示矩阵的转置。在代码中访问矩阵的转置：
A.T
# tensor([[ 0, 4, 8, 12, 16],
# [ 1, 5, 9, 13, 17],
# [ 2, 6, 10, 14, 18],
# [ 3, 7, 11, 15, 19]])
作为方阵的一种特殊类型，对称矩阵（symmetric matrix） 等于其转置：。这里定义一个对称矩阵 ：
B = torch.tensor([[1, 2, 3], [2, 0, 4], [3, 4, 5]])
B
# tensor([[1, 2, 3],
# [2, 0, 4],
# [3, 4, 5]])B == B.T
# tensor([[True, True, True],
# [True, True, True],
# [True, True, True]])
2.3.4 张量
就像向量是标量的推广，矩阵是向量的推广一样，我们可以构建具有更多轴的数据结构。张量是描述具有任意数量轴的 维数组的通用方法。例如，向量是一阶张量，矩阵是二阶张量。
X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
X
# tensor([[[ 0, 1, 2, 3],
# [ 4, 5, 6, 7],
# [ 8, 9, 10, 11]],
#
# [[12, 13, 14, 15],
# [16, 17, 18, 19],
# [20, 21, 22, 23]]])
2.3.5 张量算法的基本性质
给定具有相同形状的任意两个张量，任何按元素二元运算的结果都将是相同形状的张量。
A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
B = A.clone() # 通过分配新内存，将A的一个副本分配给B
A, A + B
# (tensor([[ 0., 1., 2., 3.],
# [ 4., 5., 6., 7.],
# [ 8., 9., 10., 11.],
# [12., 13., 14., 15.],
# [16., 17., 18., 19.]]),
# tensor([[ 0., 2., 4., 6.],
# [ 8., 10., 12., 14.],
# [16., 18., 20., 22.],
# [24., 26., 28., 30.],
# [32., 34., 36., 38.]]))
两个矩阵的按元素乘法称为Hadamard积（Hadamard product）（数学符号 ）
A * B
# tensor([[ 0., 1., 4., 9.],
# [ 16., 25., 36., 49.],
# [ 64., 81., 100., 121.],
# [144., 169., 196., 225.],
# [256., 289., 324., 361.]])
将张量乘以或加上一个标量不会改变张量的形状，其中张量的每个元素都将与标量相加或相乘。
a = 2
X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
a + X, (a * X).shape
# (tensor([[[ 2, 3, 4, 5],
# [ 6, 7, 8, 9],
# [10, 11, 12, 13]],
#
# [[14, 15, 16, 17],
# [18, 19, 20, 21],
# [22, 23, 24, 25]]]),
# torch.Size([2, 3, 4]))
2.3.6 降维
计算其元素的和
x = torch.arange(4, dtype=torch.float32)
x, x.sum()
# (tensor([0., 1., 2., 3.]), tensor(6.))
表示任意形状张量的元素和
A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
A.shape, A.sum()
# (torch.Size([5, 4]), tensor(190.))
默认情况下，调用求和函数 sum() 会沿所有的轴降低张量的维度，使它变为一个标量。我们还可以指定张量沿哪一个轴来通过求和降低维度。
A_sum_axis0 = A.sum(axis=0)
A_sum_axis0, A_sum_axis0.shape
# (tensor([40., 45., 50., 55.]), torch.Size([4]))A_sum_axis1 = A.sum(axis=1)
A_sum_axis1, A_sum_axis1.shape
# (tensor([ 6., 22., 38., 54., 70.]), torch.Size([5]))A.sum(axis=[0, 1]) # 结果和 A.sum() 相同
# tensor(190.)
一个与求和相关的量是平均值（mean或average）。 我们通过将总和除以元素总数来计算平均值。
A.mean(), A.sum() / A.numel()
# (tensor(9.5000), tensor(9.5000))
也可以沿指定轴来计算平均值。
A.mean(axis=0), A.sum(axis=0) / A.shape[0]
# (tensor([ 8., 9., 10., 11.]), tensor([ 8., 9., 10., 11.]))
非降维求和
有时在调用函数来计算总和或均值时保持轴数不变会很有用
sum_A = A.sum(axis=1, keepdims=True)
sum_A
# tensor([[ 6.],
# [22.],
# [38.],
# [54.],
# [70.]])
例如，由于 sum_A 在对每行进行求和后仍保持两个轴，我们可以通过广播将 A 除以 sum_A。
A / sum_A
# tensor([[0.0000, 0.1667, 0.3333, 0.5000],
# [0.1818, 0.2273, 0.2727, 0.3182],
# [0.2105, 0.2368, 0.2632, 0.2895],
# [0.2222, 0.2407, 0.2593, 0.2778],
# [0.2286, 0.2429, 0.2571, 0.2714]])
某个轴计算A元素的累积总和
A.cumsum(axis=0)
# tensor([[ 0., 1., 2., 3.],
# [ 4., 6., 8., 10.],
# [12., 15., 18., 21.],
# [24., 28., 32., 36.],
# [40., 45., 50., 55.]])
2.3.7 点积（Dot Product）
向量的点积是相同位置的元素乘积的和，dot() 函数只能求两个 1D 向量的点积。
y = torch.ones(4, dtype = torch.float32)
x, y, torch.dot(x, y)
# (tensor([0., 1., 2., 3.]), tensor([1., 1., 1., 1.]), tensor(6.))
我们也可以通过执行按元素乘法，然后进行求和来表示两个向量的点积：
torch.sum(x * y)
# tensor(6.)
2.3.8 矩阵-向量积
让我们将矩阵 用它的行向量表示：
其中每个 都是行向量，表示矩阵的第 行。矩阵向量积 是一个长度为 的列向量，其第 个元素是点积 ：
在代码中使用张量表示矩阵-向量积，我们使用 mv() 函数。 当我们为矩阵A和向量x调用 torch.mv(A, x) 时，会执行矩阵-向量积。注意，A 的列维数（沿轴 1 的长度）必须与 x 的维数（其长度）相同。
A.shape, x.shape, torch.mv(A, x)
# (torch.Size([5, 4]), torch.Size([4]), tensor([ 14., 38., 62., 86., 110.]))
2.3.9 矩阵-矩阵乘法
假设有两个矩阵和：
用行向量表示矩阵的第行，并让列向量作为矩阵的第列。要生成矩阵积，最简单的方法是考虑的行向量和的列向量:
当我们简单地将每个元素计算为点积:
B = torch.ones(4, 3)
torch.mm(A, B)
# tensor([[ 6., 6., 6.],
# [22., 22., 22.],
# [38., 38., 38.],
# [54., 54., 54.],
# [70., 70., 70.]])
矩阵-矩阵乘法可以简单地称为矩阵乘法，不应与“Hadamard积”混淆。
2.3.10 范数
范数是向量元素平方和的平方根：
其中，在 范数中常常省略下标 ，也就是说 等同于 。在代码中，我们可以按如下方式计算向量的 范数。
u = torch.tensor([3.0, -4.0])
torch.norm(u)
# tensor(5.)
范数表示为向量元素的绝对值之和：，与 范数相比， 范数受异常值的影响较小。为了计算 范数，我们将绝对值函数和按元素求和组合起来。
torch.abs(u).sum()
# tensor(7.)
范数和 范数都是更一般的 范数的特例：
类似于向量的 范数，矩阵 的Frobenius范数（Frobenius norm）是矩阵元素平方和的平方根：
Frobenius 范数满足向量范数的所有性质，它就像是矩阵形向量的 范数。调用以下函数将计算矩阵的 Frobenius 范数。
torch.norm(torch.ones((4, 9)))
# tensor(6.)
--------------- 结束 ---------------
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