数学思维好题（冯哈伯公式）-平方根下取整求和

形式化题意

给定一个正整数$n$，求 ${\sum }_{i=1}^n\lfloor \sqrt{i}\rfloor$。

题解

思路

我们可以把 $1$ 到 $n$ 分成 $1^2$ 到 $2^2-1$，$2^2$ 到 $3^2-1$……$re{s}^2$ 到 $n$ 共 $res$ 个部分（其中 $res$ 为最大的小于等于 $n$ 的整数），对于每一部分，其放法的数量都是相同的，故答案为 ${\sum }_{i=1}^{res-1}((i+1{)}^2-i^2)\ast i$。暴力枚举 $res$ 个部分求和，时间复杂度 $O(\sqrt{n})$，可得70pts。
考虑优化，$res$ 可以用 $sqrt$ 函数 $O(1)$ 求（具体为什么是$O(1)$我也不清楚，是一些汇编代码的原理），那么答案即为 ${\sum }_{i=1}^{res-1}((i+1{)}^2-i^2)\ast i={\sum }_{i=1}^{res-1}(2i+1)\ast i={\sum }_{i=1}^{res-1}2i^2+i=2{\sum }_{i=1}^{res-1}{i}^2+{\sum }_{i=1}^{res-1}i$。后者可 $O(1)$ 求出，前者也可以使用冯哈伯公式（这题如果你会这个公式可以一眼秒）$O(1)$ 求出，总复杂度 $O(1)$。

图为冯哈伯公式，J.Faulhaber 在1631年的Academiae Algebrae中发表的第一个正整数的幂和通用公式。

小细节

• 除法取模记得用逆元！！！！
• 这里给出冯哈伯公式的特殊情况：自然数的平方和公式的证明

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=998244353;
long long n;
int main()
{cin>>n;int l=1,r=1e9,res=0;while(l<=r)      //二分res{int mid=(l+r)>>1;if(1ll*mid*mid<=n) res=mid,l=mid+1;else r=mid-1;}int ans=(n-1ll*res*res+1)%mod*res%mod;//求res*res到n之间的答案res--;//求完res*res到n之间的答案要把res--,题解中用的是(res-1),先减去再用更简单ans=(ans+2ll*res%mod*(res+1)%mod*(2ll*res%mod+1)%mod*166374059%mod)%mod;//求平方和//166374059是6的逆元,499122177是2的逆元(mod 998244353)ans=(ans+1ll*(1+res)%mod*res%mod*499122177%mod)%mod;//求一次方和//乘法可能爆int,注意用1ll*并随时取余cout<<ans;return 0;
}