了解ADS中信号和电源完整性的S参数因果关系

当我们讲授 S 参数和建模时，总会有人问：“什么是因果关系？” 或“如果一个模型不是因果关系会怎样？”我们惯用的解释是，因果关系是因果关系：如果一个系统的输出在输入发生变化之前没有响应，那么它就是因果的。在一个因果宇宙中，在你打开开关之前 ，灯不应该亮。

这看起来很简单。毕竟，如果你正在建模或测量一个物理系统——比如驱动器和接收器之间的互连——结果难道不应该自然而然地具有因果关系吗？

就像工程学中的大多数问题一样，答案并不总是如此。在这篇文章中，我们将探讨：

• 非因果 S 参数如何由实际测量或模拟得出

• 如何检测和可视化因果关系违规

• 在时域模拟中使用非因果模型的后果

• 以及如何避免生成或使用非因果数据

什么是因果关系？

因果关系描述系统行为中因果之间的关系，强调输出与先前输入之间的关联。在信号与系统课程中，我们研究线性时不变 (LTI) 系统，因为它们遵循可预测的规则，并且能够紧密模拟许多物理系统。电路、滤波器和通信信道通常属于 LTI 系统，或者在有限的工作条件下可以近似为 LTI 系统。

至关重要的是，LTI 系统的数学结构非常精妙：时间上的卷积转化为频率上的乘积，特征函数是正弦函数，而像傅里叶变换和拉普拉斯变换这样的强大工具只有在线性和时间不变的假设下才适用。线性和时间不变的假设对于这些数学技术的有效性和分析的准确性至关重要。

系统是否为 LTI 的一个关键标准是因果关系。

如果一个系统在施加脉冲之前的所有时刻的脉冲响应都为零，则该系统具有因果性。换句话说，因果系统在任何给定时刻的输出仅取决于过去和现在的输入，而非未来的输入。

脉冲响应h(t)是当输入为狄拉克函数δ(t)时系统的输出，该函数在t = 0 时起作用。脉冲响应的数学形式通常表示为 h(t)，它是分析系统行为和确定因果关系等属性的基础。为了检验因果关系，我们检查h(t) ：如果 对于所有t < 0 ，h(t) = 0 ，则系统具有因果关系。

简单来说，如果将输入刺激应用于系统，并且输出的任何部分在输入之前及时到达，则该系统是非因果的。

在分析 LTI 系统时，特征函数及其对应的特征值负责定义系统的响应。指数函数和正弦函数等函数用于表示输入和输出，凸显了函数对于描述和理解系统行为的重要性。

频域采样如何影响时域模拟？

系统特性分析通常在频域中进行。例如，矢量网络分析仪 (VNA) 在一个端口施加正弦波激励，并测量所有端口的响应。通过扫描输入信号的频率并记录由此产生的行为，VNA 可以构建系统在特定频率范围内的响应图像。这些测量结果通常保存在 S 参数文件中，大多数电路仿真器可以直接将其用作系统模型。

像SIPro这样的混合求解器或像RFPro这样的全三维求解器的操作方式类似：它们在频域中求解麦克斯韦方程，并返回表征系统频率行为的数据集。结果也可以导出为 S 参数模型。

有了这样的模型，可以应用任意时域输入，例如脉冲、阶跃、时钟、调频或数字波形。模拟器将使用逆傅里叶技术计算相应的输出。此过程涉及一种将频域数据转换为时域数据的特定技术，以确保时域响应准确反映原始系统。

但如果现实世界是在时域中运行的，那为什么一开始还要费心去处理频域呢？引用自称（谁又能反驳呢？）信号完整性倡导者的埃里克·博加廷（Eric Bogatin）的话：“我们去其他域，是因为在那里更容易找到答案。 ”[1]

频域在硬件和计算方面都更受青睐，因为这种方式测量大多数线性系统更快、更实用。时域测量需要非常高的带宽和采样率。时域反射仪 (TDR) 或示波器必须捕捉非常快速的边沿和高动态范围，这在数千兆赫兹的速度下会变得成本高昂且技术挑战性十足。相比之下，频域测量可以在每个点对正弦波的多个周期进行平均，从而降低噪声并提高动态范围。使用矢量网络分析仪 (VNA) 也更容易精确控制频率成分、阻抗和功率水平——这在时域中很难做到。

事实上，即使是像 SIPro 和 RFPro 这样的全波电磁求解器，通常也会在频域中求解系统。这是因为麦克斯韦方程组虽然本质上与时间相关，但在求解稳态正弦激励时会变得简单得多。时间导数转化为乘法，将问题简化为每个频率点的线性代数系统。这通常比时域求解器计算成本更低、更稳定，尤其是在需要高频精度和宽带特性的情况下。

然而，这些方法在频域中创建的系统模型本质上是离散的且带宽受限的。也就是说，系统并非在整个频率连续体上完全定义，而仅在一组采样点上定义。该采样点集合的密度和范围与模型在频域和时域的精度直接相关。

为了模拟时域行为，必须将离散频率数据转换为时域表示。然而，对于有限集的任何转换，在转换过程中总会存在丢失或失真的风险。

如果频率采样太稀疏、带宽太窄或缺乏适当的相位连续性，则得到的时域模型可能不再反映原始物理系统的真实行为 - 在某些情况下完全违反物理定律。

如何检查因果关系是否违反？

图片来源：迪士尼，来源于此处。

如果 Miss Minutes（来自 Marvel 的 TVA）无法标记模拟中的时间旅行违规行为，您仍然可以使用 Keysight ADS 以正常方式检查因果关系。

为了说明非因果 S 参数模型如何产生，我使用相同结构的三个系统表示建立了一个简单的通道模拟实验：

1. 理想传输线模型

2. 使用密集频率扫描创建的因果 S 参数模型

3. 通过对频率响应进行欠采样生成的非因果 S 参数模型

这三个模型均代表相同的1英寸50Ω有损传输线。基准模型是ADS内置的TLINP组件，采用所有默认参数，产生123 ps的线路延迟。

通过扫描传输线的S参数（频率范围从1 MHz到35 GHz），创建因果模型和非因果模型。扫描一次采用1000个等距线性样本的高频分辨率，扫描一次采用5个线性样本的低分辨率。仿真示意图如图1所示。

图 1 - Keysight ADS 中的因果和非因果模型生成设置

欠采样和充分采样的S参数仿真结果如下图2所示。5个欠采样点位于红色图上的圆圈内，并通过线性插值连接这些点。通过欠采样，我们排除了传输线的许多动态特性，这从欠采样图与充分采样图之间的误差中可以看出。

图 2 - ADS 中因果和非因果模型生成的 S 参数仿真结果

我使用DDS 窗口中的数据文件工具将结果导出到 S 参数文件。

为了验证模型确实是非因果关系和因果关系，我在 ADS 的S 参数工具包中对它们进行了检查，该工具包可以从原理图窗口的“工具”>“数据文件实用程序...”>“S 参数工具包”下打开，或者通过在原理图上放置一个SnP组件，分配 s 参数文件，然后单击“检查/查看 S 参数”按钮。

S 参数工具包通过分析底层数学方程和 S 参数数据的具体形式来检查因果关系，确保频率响应与物理系统行为一致。有关如何使用该工具包的详细信息，请参阅内置 ADS 文档中“帮助”>“主题和索引... ”下的“验证 S 参数数据”页面的 S 参数工具包文档。我们提供了一系列优秀的ADS 学习和培训资源， 其中包含大量关于如何设置和运行本文所示仿真的参考资料。

非因果模型的因果关系结果首先显示在图 3中。请注意“摘要”部分提供的信息。它告诉我们，该模型的带宽为 1 MHz 至 35 GHz，共有 5 个点，并且参考阻抗符合预期，为 50Ω。加载文件时，默认计算互易性（例如，直通端口是否互易，如 S21 = S12）和无源性（如果模型是无源的，即它存储或耗散能量而不是产生能量）。可以通过点击“因果关系”选项卡，然后点击“开始计算”按钮来检查因果关系。

图 3 - S 参数工具包中非因果 s 参数文件的因果关系检查

当模型为非因果关系时，矩阵选择器中失效的 S 参数会显示为红色。此处以失效的 S12 参数为例。实部和虚部因果关系因子以蓝色表示，允许范围则绘制在绿色虚线之间。请注意，所有非因果点均位于绿色限值线之外。

相反，因果模型的所有点都在因果限制之内，如图 4所示。

图 4 - S 参数工具包中的因果关系 S 参数文件的因果关系检查

使用非因果模型的后果是什么？

现在我们已经有了理想模型、因果 S 参数模型和非因果 S 参数模型，让我们观察它们在时域中的比较情况。比较这些模型时，我们本质上是在分析系统对给定输入的响应，其中每个模型的传递函数决定了输入脉冲在输出中的变换方式。

我已经设置了一个模拟，将相同的脉冲输入到我们的系统模型的三个版本中，如图 5中的示意图所示，并运行了几个案例来演示问题，其中几个脉冲持续时间分别为 1 ps、10 ps 和 300 ps，每个脉冲都有 10 ps 的上升和下降时间，这些是在 SRC1 分段线性电压源中定义的，但未显示。

图5-理想、非因果和因果模型瞬态模拟示意图

图 6 - 非因果、因果和理想模型的瞬态模拟

图6中的瞬态结果表明，理想模型和因果S参数模型的行为完全相同：我们得到与输入相同的输出，但延迟了123 ps。这正是我们期望从正确端接的理想传输线获得的。输出波形表现出延迟和形状保持等特性，并且信号幅度与输入保持一致。

非因果 S 参数模型的表现截然不同。如果没有理想情况作为参考，乍一看可能看不出来有什么问题。输出的形状与输入大致相同，但存在一些振铃现象。不熟悉该模型局限性的人可能会认为振铃现象反映了物理系统的缺陷。

仔细观察就会发现问题所在。输入脉冲一开始上升，振铃就出现了，这意味着输出需要瞬时响应，但这在物理上是不可能的。更重要的是，输出的上升沿延迟了大约 10 ps。

回顾 S 参数相位响应，可以清楚地看出非因果模型缺失了大量的相位信息。相位保真度的损失是导致输出出现错误、看起来像瞬时现象的关键因素。相位响应编码了系统的延迟和色散特性。如果没有精确的相位数据，重建的时域响应就无法体现因果关系。

从我使用此设置进行的初步实验中，我最初将非因果 S 参数模型提取到 20 GHz，并使用 5 个样本，但在图 7所示的瞬态模拟中得到了不同的答案。

图 7 - 20 GHz 因果和非因果模型的瞬态模拟结果。

20 GHz 非因果模型比 35 GHz 模型延迟更大，振铃也更多，而且输入一旦发生变化，输出也会随之变化。这进一步表明，使用不准确的模型，你无法预知最终结果。

那么“几乎”因果模型怎么样？

花费数小时（甚至数天）运行模拟或进行复杂测量，却发现生成的模型因一个频率点的差异而未能通过因果关系检验，这令人沮丧不已，尤其是在时间紧迫的情况下。人们不禁会问：真的那么糟糕吗？我还能继续使用这个模型吗？

经过反复试验，我发现，从 1 MHz 到 35 GHz 的频率范围内，99 个线性间隔点构成的 S 参数模型，在最低阈值 0.01 的情况下，勉强通过了 S 参数工具包的因果关系检验。然而，当阈值放宽至 0.02 时，所有点都通过了检验，因此我将这个模型称为几乎因果模型。因果关系检验假设任何低于设定阈值的违规在实际应用中都可以忽略不计，因此阈值的选择直接影响模型是否被视为因果模型。

图 8 - 99 个线性样本的因果关系结果

下面的图 9显示了瞬态结果，其中理想、因果和几乎因果模型相互叠加以强调匹配。

图 9 - 对理想、几乎因果和因果模型的脉冲响应

近似因果模型的输出在上升沿和下降沿显示出轻微的振铃 。在上升沿，有一个比理想模型稳态值（略低于 1 V）高出约 1.65% 的过冲 。这个差异很小，可能不会影响大多数分析，但仍然可以测量。

这只是一个例子，我们有理想模型作为参考来评估误差。但是，当你对一个未知 系统进行建模时，你如何知道结果是准确的？或者更现实地说，足够准确吗？

另一个有趣的发现是：当我将样本数量增加1——达到100个点时——该模型（我称之为勉强因果 模型）通过了因果关系检验。但最终的波形 与几乎因果模型几乎完全相同。

图 10 - 100 个线性样本的因果关系结果

图 11 - 对理想、几乎无因果和因果模型的脉冲响应

这说明了什么？也许这个模型从技术上讲是 因果关系——它在0.01的阈值下通过了——但它可能无法在0.009这样更严格的阈值下通过。这就引出了一个问题：一个模型“通过”因果关系究竟意味着什么？

这里的要点是，因果关系检验不仅验证了物理学，还为我们提供了一个实用的准确性衡量标准。通过因果关系检验（在合理的阈值下）的模型很可能包含足够的频率信息，从而产生可靠的时域响应。

因果关系检验实际上检查什么？

当您在 ADS 或其他模拟器中测试因果关系时，实际上检查什么？

从高层次来看，目标是验证系统是否违反物理因果关系。对于 S 参数模型，此检查可以在频域或时域进行，并且不同的工具可能使用不同的方法。

一些仿真器（包括 ADS）使用基于Kramers-Kronig 关系的频域技术。这些关系将 S 参数响应的实部和虚部连接起来，确保它们在数学上与因果系统一致（这就是 S 参数工具包在实部和虚部图上显示随频率变化的因果关系界限的原因）。如果测量或仿真数据在容差范围内不遵循这些积分关系，则系统可能会表现出非物理行为。

然而，为了获得实际的洞察力（尤其是在可视化问题时），我们将探索时域方法。一种常见的方法是使用逆傅里叶变换将 S 参数转换为时域脉冲响应，然后检查时间零点之前是否存在任何显著能量。能量比（t = 0 之前的能量除以总能量）成为量化因果关系违规的实用指标。

将此比率与用户定义的阈值（例如 0.01）进行比较。如果比率超过阈值，则该模型被标记为非因果关系；如果比率未超过阈值，则在可接受的范围内被视为因果关系。

需要注意的是，这并不是一个严格的“通过/失败”测试。当应用于离散且带宽受限的实际数据时，Kramers-Kronig 积分会给出边界值，而不是精确值。对于理想、连续且无限宽带的输入数据，我们会得到明确的“是/否”因果关系答案。但在实践中，我们处理的是有限数据，因此测试结果反映的是一系列可接受的值，而不是一个二元结果。

一些工具允许您调整因果关系检验阈值，该阈值决定了可以容忍与理想行为的偏差程度。在基于时域的方法中，这可能对应于 t=0 之前的能量与总能量的比率。在频域方法中，它通常定义预期 Kramers-Kronig 约束响应周围的容差带。无论哪种方式，阈值都提供了一种平衡数值精度和实际可用性的方法。

这意味着测试不是二进制的。它是数值敏感度和实际精度之间的权衡——就像模拟器中的收敛公差一样。

为了说明这一点，我使用 ADS 的ts()函数将近因果模型和因果模型的直通响应 (S21) 转换为时域。这为我们提供了系统行为的脉冲视图——非常类似于 TDR 测量（请参阅我们关于 TDR 测量的文章）——并且允许我们直接比较 t = 0 之前的活动。

 

图 12 - 几乎因果模型与因果模型的脉冲响应显示 t = 0 之前的活动

尽管两种响应在 t = 0 之前都显示出非零振幅（在这种情况下，由于线路延迟，振幅为 123 ps），但几乎因果模型在这个区域中的活动略多，如蓝色轨迹后面的红色小点所示。

为了量化差异，我计算了 t = 0 之前的能量比，方法是将每个模型响应在该时间窗口内归一化脉冲响应样本的平方相加（因为能量与幅值的平方随时间积分成正比）。近似因果模型在 t = 0 之前的能量是因果模型的 1.001 倍——这意味着它在非因果区域的能量大约高出 0.1%。

现在假设我们想要降低 t = 0 之前的纹波和总能量。使用 99 个样本和 1000 个样本之间只有 0.1% 的差异。增加更多样本可能不会带来太大的改进。但我们知道，转换后的时域脉冲响应受限于数据集中的最大频率点。让我们看看，当我们提高最大频率并比较两个包含 1000 个线性样本的 S 参数数据集的转换结果时会发生什么，其中一个数据集的频率为 35 GHz，另一个为 350 GHz。

图 13 - 35 GHz 和 350 GHz 下 1000 点 S 参数的时间域转换

我们显著降低了 t = 0 前的纹波。35 GHz 情况下的能量比 350 GHz 情况下高出 5 倍。

那么，这里的要点是什么？要将系统建模到可以想象的最高频率吗？不一定。我们已经看到，1000 个样本、35 GHz 的模型非常准确。

要点是，增加采样数并不总是奏效——超过某个点后，增加频率点的数量会导致收益递减。但带宽又是另一回事。S 参数数据集中的最大频率直接限制了时域分辨率，尤其是在 t=0 等快速过渡附近。

我们发现，在保持样本数量不变的情况下，将最大频率从 35 GHz 提高到 350 GHz，显著降低了 t = 0 前的振铃。这表明，决定时域保真度的不仅仅是样本数量，还有带宽。

这并不意味着您需要为每个互连仿真到 350 GHz。合适的带宽取决于您想要建模的跃迁的尖锐程度，而不是某个任意的上限。如果您看到杂散振铃或因果关系违规，这可能不是频率点密度问题，而可能是带宽问题。确保您的模型在频率上足够延伸，以捕捉您关心的跃迁。

结论

值得信赖的时间域模拟始于物理上有效的频域模型 - 这意味着它必须是因果关系，或者至少足够接近以通过有意义的因果关系检查。

即使你建模的系统本质上是因果关系，由于欠采样、带宽限制或插值伪影，你仍然可能得到非因果的 S 参数模型。虽然非因果模型可能看起来 很合理，尤其是对于小输入信号或宽脉冲，但它可能会导致不准确的延迟、人为振铃，甚至在更敏感的应用中导致模拟不稳定。

因果关系检验不仅仅是一种形式——它是一个实际指标，可以表明您的模型是否包含足够的频率内容和连续性，以准确地表示系统在时间域中的行为。

如果您的模型未通过因果关系检验：

• 增加频率点的数量——如果可能的话，将额外的点集中在标记违规的频率周围

• 扩展带宽——特别是当信号有快速边沿时

• 遵循特定于求解器的频率扫描分辨率最佳实践

通过因果关系检验的模型更有可能表现得更接近其所代表的物理系统。失败的模型则应该引起警惕。

话虽如此，因果关系检验并非二元的。正如我们所展示的，孤立于窄频带的微小违规可能不会对时域精度产生显著影响，尤其是在较慢的系统或较宽的脉冲中。关键在于在决定使用或重新生成模型之前，了解违规的性质和幅度。

如果您正在构建依赖于高保真结果的信号完整性和电源完整性时域仿真，那么验证每个模型的因果关系必须成为您工作流程的一部分。这是一个经常被忽视或被视为理所当然的细节之一——直到结果变得毫无意义。

因果关系检查和频域分析不仅可以验证您的模型，而且还有助于直观地理解系统行为和模型准确性，从而使调试和设计决策更有效。