一个基于物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Network, PINN）的多变量时间序列预测模型MATLAB代码

物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks, PINNs）是一种结合深度学习与物理定律的神经网络方法，旨在解决涉及偏微分方程（PDEs）的问题。以下是对该问题的详细解答：

1. 物理信息神经网络的定义与核心思想
   物理信息神经网络（PINNs）是一种将物理定律嵌入到神经网络中的方法，通过将物理方程、边界条件和初始条件作为约束条件，指导神经网络的训练过程。这种方法能够利用已知的物理定律来增强模型的泛化能力，尤其在数据稀缺或数据质量较低的情况下具有显著优势。

2. PINNs的核心机制
   • 物理约束的嵌入：PINNs通过将物理方程（如偏微分方程）和边界条件嵌入到神经网络的损失函数中，使模型在训练过程中自动满足物理约束。例如，损失函数通常包括物理残差项和边界条件的残差项。
   
   • 数据驱动与物理驱动的结合：PINNs可以同时利用数据和物理知识进行建模，即使在数据量较少的情况下也能获得较好的预测结果。
   • 灵活性与可扩展性：PINNs可以处理非线性问题、参数化问题以及多尺度问题，并且能够处理复杂的物理系统，如流体力学、材料科学、地球物理学等。

3. PINNs的应用领域
   PINNs在多个领域中得到了广泛应用，包括但不限于： 流体力学与流体动力学：用于模拟流体流动、湍流、波传播等。

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一、代码功能

MATLAB 代码实现了一个基于物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Network, PINN）的多变量时间序列预测模型，用于对给定的历史数据进行预测，并引入物理约束以提高模型的泛化能力和可解释性。

• 使用历史时间序列数据构建输入-输出对；
• 构建一个带有物理约束的神经网络（PINN）；
• 训练网络并评估其在训练集和测试集上的预测性能；
• 输出多种评估指标（RMSE、R²、MAE、MAPE、MBE、MSE）；
• 可视化预测结果、误差分布和拟合效果。

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二、算法步骤

1. 数据导入与重构：从 Excel 文件中读取数据，构建用于监督学习的样本，每个样本由 kim 个历史时刻的特征和 zim 步后的目标值组成。
2. 划分训练集与测试集：按比例（70%）划分数据。
3. 数据归一化：使用 mapminmax 将数据归一化到 [0, 1] 区间。
4. 转换为 dlarray：将数据转换为深度学习框架可用的格式。
5. 生成物理点：随机生成物理点用于物理残差计算。
6. 构建 PINN 模型：使用全连接层和 tanh 激活函数构建神经网络。
7. 训练模型：使用 Adam 优化器，结合数据损失和物理损失进行训练。
8. 预测与反归一化：对训练集和测试集进行预测，并将结果反归一化。
9. 评估指标计算：计算 RMSE、R²、MAE、MAPE、MBE、MSE。
10. 可视化：绘制预测对比图、误差图、拟合图等。

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三、技术路线

• 深度学习框架：使用 MATLAB 的 dlarray 和 dlnetwork 进行自动微分和网络训练。
• 物理约束：通过物理残差项（Physics Loss）将先验物理知识嵌入损失函数。
• 优化算法：使用 Adam 优化器。
• 评估指标：多种统计指标综合评价模型性能。

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四、公式原理

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五、参数设定

参数名	含义	取值
kim	历史步长	4
zim	预测步长	1
num_size	训练集比例	0.7
num_physics	物理点数量	1000
numEpochs	训练轮数	1000
learningRate	学习率	0.001
lambda_phys	物理损失权重	0.1

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六、运行环境

• 软件：MATLAB2024b（需安装 Deep Learning Toolbox）
• 数据格式：Excel 文件（data.xlsx）

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七、预测效果

数据集

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