【高等数学】第十章 重积分——第三节 三重积分

上一节：【高等数学】第十章 重积分——第二节 二重积分的计算法
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1. 三重积分的概念

• 定义
  设$f(x,y,z)$是空间有界区域$\Omega$上的有界函数，将$\Omega$任意分成$n$个小区域，其中$\Delta v_i$表示第$i$个小区域，也表示它的体积。
  在每个$\Delta v_i$上任取一点$({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$，作乘积$f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta v_i$（$i=1,2,\dots ,n$），并作和$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta v_i$。
  如果当各小闭区域直径中的最大值$\Delta v\to 0$时，这和的极限总存在，并且与闭区域$\Omega$的分法及点$({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$的选取无关，
  那么此极限为函数$f(x,y,z)$在闭区域$\Omega$上的三重积分，即$$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dv=\underset{\Delta v\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta v_i$$其中$f(x,y,z)$叫做被积函数，$dv$叫做体积元素，$\Omega$叫做积分区域。
• 直角坐标系中的体积元素
  在直角坐标系中，有时也把体积元素$\mathrm{d}v$ 记作$\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$，而把三重积分记作
  $$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z,$$
  其中$\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$叫做直角坐标系中的体积元素。
• 当函数$f(x,y,z)$在闭区域$\Omega$上连续时，函数$f(x,y,z)$在闭区域$\Omega$上的三重积分必定存在。
• 物理意义
  如果$f(x,y,z)$表示某物体在点$(x,y,z)$处的密度，$\Omega$是该物体所占有的空间闭区域，$f(x,y,z)$在$\Omega$上连续，
  那么$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta v_i$是该物体的质量$m$的近似值，这个和当$\lambda \to 0$时的极限就是该物体的质量$m$，所以$$m=\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dv.$$

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