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线性代数 第二章 矩阵

news 来源：原创 2025/5/20 14:41:25

一、概念

m\times n个数排成的m行n列的表格

二、运算法则

三、初等变换

（1）用非零常数k乘矩阵的某一行（列）；

（2）互换矩阵某两行（列）的位置；

（3）把某行（列）的k倍加至另一行（列）。

称为矩阵的初等行（列）变换，统称初等变换。矩阵经初等行变换后秩不变。

初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵。用初等矩阵P左（右）乘矩阵A，其结果PA（AP）就是对矩阵A作一次相应的初等行（列）变换。初等矩阵均可逆，且其逆矩阵是同类型的初等矩阵，即

E_{i}^{-1}(k)=E_{i}^{-1}(\frac{1}{k}),E_{ij}^{-1}(k)=E_{ij}^{-1}(-k),E_{ij}^{-1}=E_{ij}

等价：矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价，记作A\cong B。矩阵等价的充分必要条件是，存在可逆矩阵P与Q，使PAQ=B。

四、特殊矩阵

转置矩阵：矩阵A的行换成同序数的列得到的一个新矩阵，记作A^T

(A^T)^T=A

(A+B)^T=A^T+B^T

(kA)^T=kA^T

(AB)^T=B^TA^T

伴随矩阵：矩阵A的每个元素被其代数余子式所取代而构成的矩阵，记作A^*。

对于二阶矩阵，主对角线元素互换，副对角线元素变号即可求出伴随矩阵。

AA^*=A^*A=\left | A \right |E\Leftrightarrow A^*=\left | A\right |A^{-1}

\left | A^* \right |=\left | A \right |^{n-1}

(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*=\frac{1}{\left | A \right |}A

(A^*)^T=(A^T)^*

(kA)^*=k^{n-1}A^*

(A^*)^*=\left | A \right |^{n-2}A

r(A^*)=\left\{\begin{matrix} n, \ if \ r(A)=n,\qquad \\ 1,\ if \ r(A)=n-1,\\ 0,\ if \ r(A)<n-1. \end{matrix}\right.

可逆矩阵：存在n阶矩阵BAB=BA=E（单位矩阵），则称A是可逆矩阵或非奇异矩阵，B是A的逆矩阵。

若n阶矩阵A可逆，则

  • \left | A \right |\neq 0
  • r(A)=n
  • A的列（行）向量组线性无关
  • A=P_1P_{2}...P_s,P_i(i=1,2,...,s)是初等矩阵
  • A与单位矩阵等价
  • 0不是矩阵A的特征值

对称矩阵：满足A^T=A

反对称矩阵：满足A^T=-A

正交矩阵：满足AA^T=A^TA=E\Leftrightarrow A^{-1}=A^T

对角矩阵

分块矩阵

五、计算逆矩阵

六、秩

秩r(A)=A的列秩=A的行秩

r(A^T)=r(A)

r(A^TA)=r(A)

r(kA)=r(A)(k\neq 0)

r(A+B)\leqslant r(A)+r(B)

r(AB)\leqslant min(r(A),r(B))

若A可逆，则r(AB)=r(BA)=r(B)

若A列满秩，则r(AB)=r(B)

若A是m\times n矩阵，B是n\times s矩阵，AB=O，则r(A)+r(B)\leqslant n

r\begin{bmatrix} A & O \\ O & B \end{bmatrix}=r(A)+r(B)

若A\sim B，则r(A)=r(B),r(A+kE)=r(B+kE)

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