数学建模--模糊综合评价法

一、概念

模糊综合评价法是一种基于模糊数学的综合评价方法。它针对评价过程中存在的模糊性（如 “好”“较好”“差” 等模糊概念），通过建立模糊集合，将定性评价转化为定量评价，从而对具有多种属性的评价对象做出全面、合理的评价

利用模糊数学中的模糊隶属度理论，对评价对象的各个指标进行模糊处理，然后通过综合运算得到一个综合的评价结果。承认评价过程中的不确定性和模糊性，通过构建隶属函数来描述评价指标与评价等级之间的模糊关系，再结合各指标的权重，最终确定评价对象所属的评价等级，综合得分

二、步骤

（一）确定评价因素集（指标集）

评价因素集是指影响评价对象的各种因素的集合，通常用U={u1,u2,⋯ ,un}U = \{u_1, u_2, \cdots, u_n\}U={u1​,u2​,⋯,un​}表示，其中$u_i$为第$i$个评价指标，$n$为指标的数量。例如，评价一款手机时，因素集可以是U={外观,性能,价格,续航}U=\{外观, 性能, 价格, 续航\}U={外观,性能,价格,续航}。

（二）确定评价评语集（等级集）

评价评语集是评价者对评价对象可能做出的各种评价结果的集合，通常用V={v1,v2,⋯ ,vm}V = \{v_1, v_2, \cdots, v_m\}V={v1​,v2​,⋯,vm​}表示，其中$v_j$为第$j$个评价等级，$m$为等级的数量。例如，评语集可以是V={优秀,良好,一般,较差}V=\{优秀, 良好, 一般, 较差\}V={优秀,良好,一般,较差}。

（三）确定各评价因素的权重

权重表示各评价因素在综合评价中所占的重要程度，权重集用A={a1,a2,⋯ ,an}A = \{a_1, a_2, \cdots, a_n\}A={a1​,a2​,⋯,an​}表示，其中$a_i$为第$i$个评价指标的权重，且满足${\sum }_{i=1}^n{a}_i=1$。权重的确定方法有主观赋权法（如层次分析法、德尔菲法）和客观赋权法（如熵值法）等。

（四）建立模糊评价矩阵

模糊评价矩阵是描述各评价因素对各评价等级的隶属程度的矩阵，记为$R=(r_{ij}{)}_{n\times m}$，其中$r_{ij}$表示第$i$个评价因素隶属于第$j$个评价等级的程度，且$0\le r_{ij}\le 1$，${\sum }_{j=1}^m{r}_{ij}=1$（对于归一化的隶属度）。

建立模糊评价矩阵的关键是确定隶属函数，常用的隶属函数有三角形隶属函数、梯形隶属函数等。例如，对于 “价格” 这一指标，可根据价格区间确定其隶属于 “优秀”“良好” 等等级的隶属度。

（五）进行模糊合成运算

模糊合成运算是将权重集$A$与模糊评价矩阵$R$进行合成，得到综合评价结果向量$B$，即$B=A\circ R$，其中 “$\circ$” 表示模糊合成算子。常用的模糊合成算子有：

1. 主因素决定型（如$M(\wedge ,\vee )$）：bj=max⁡{ai∧rij}b_j=\max\{a_i \land r_{ij}\}bj​=max{ai​∧rij​}（$\wedge$为取小运算，$\vee$为取大运算），这种方法突出了主要因素的作用，但可能丢失部分信息。

2. 加权平均型（如$M(\cdot ,+)$）：$b_j={\sum }_{i=1}^n{a}_i\cdot r_{ij}$，这种方法考虑了所有因素的影响，结果更全面。

（六）评价结果分析

根据综合评价结果向量$B$，确定评价对象的最终评价等级。常用的方法有：

1. 最大隶属度原则：选择$B$中最大元素所对应的评价等级作为评价结果。

2. 加权平均法：将评价等级量化（如赋予 “优秀” 90 分、“良好” 80 分等），然后根据$B$计算综合得分，即$S={\sum }_{j=1}^m{b}_j\cdot s_j$（$s_j$为第$j$个评价等级的量化值），再根据得分确定评价结果。

优点

1. 能够有效处理评价过程中的模糊性和不确定性，使评价结果更符合实际情况。

2. 可以综合考虑多个评价指标，全面反映评价对象的特征。

3. 方法灵活，可根据不同的评价对象和评价需求选择合适的隶属函数和合成算子。

缺点

1. 隶属函数的确定带有一定的主观性，不同的人可能会建立不同的隶属函数，从而影响评价结果。
2. 当评价指标较多时，权重的确定难度较大，且模糊合成运算可能会使结果的分辨力下降。
3. 评价结果的解释需要一定的专业知识，对于非专业人员来说可能不够直观。