椭圆、双曲线、抛物线总对比表

📊 椭圆 · 双曲线 · 抛物线 对比表

特征	椭圆	双曲线	抛物线
定义	平面上到两个焦点的距离 和 为常数的点	平面上到两个焦点的距离 差的绝对值 为常数的点	平面上到一个焦点和一条准线的距离 相等 的点
标准方程（中心在原点）	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ （长轴水平） $\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$ （长轴竖直）	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ （左右开口） $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$ （上下开口）	$y^2=2px$（开口朝左右） $x^2=2py$（开口朝上下）
焦点关系	$c^2=a^2-b^2$	$c^2=a^2+b^2$	焦点在准线上方/侧，焦距 = $\frac{p}{2}$
离心率	$e=\frac{c}{a},0<e<1$	$e=\frac{c}{a},e>1$	$e=1$
顶点	$(\pm a,0)$ 或 $(0,\pm a)$	$(\pm a,0)$ 或 $(0,\pm a)$	$(0,0)$（若以原点为顶点）
焦点	$(\pm c,0)$ 或 $(0,\pm c)$	$(\pm c,0)$ 或 $(0,\pm c)$	$(\frac{p}{2},0)$ 或 $(0,\frac{p}{2})$
渐近线	❌ 没有	有：$y=\pm \frac{b}{a}x$ 或 $y=\pm \frac{a}{b}x$	❌ 没有
面积	有界，面积 = $\pi ab$	无界，面积无限大	无界，面积无限大
参数方程	$x=a\cos t,y=b\sin t$	$x=a\cosh t,y=b\sinh t$	$x=\frac{p}{2}{t}^2,y=pt$
准线	$x=\pm \frac{a}{e}$（长轴水平时）	$x=\pm \frac{a}{e}$（左右开口时）	一条直线，如 $x=-\frac{p}{2}$
图形特点	封闭曲线，像“扁圆”	两个开口的分支，向两边无限延伸	一条开口曲线，像“U” 或 “抛物碗”

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📌 一句话总结

• 椭圆：距离和 → $c^2=a^2-b^2$，$e<1$，封闭图形。
• 双曲线：距离差 → $c^2=a^2+b^2$，$e>1$，两支张开。
• 抛物线：焦点=准线 → $e=1$，一支无限张开。

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