abc Reachable Set

AT_abc401_e [ABC401E] Reachable Set

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题目描述

给定一个包含 $N$ 个顶点和 $M$ 条边的无向图。顶点编号为 $1,2,\dots ,N$，第 $i$ 条边 $(1\le i\le M)$ 连接顶点 $u_i$ 和顶点 $v_i$。

对于每个 $k=1,2,\dots ,N$，请解决以下问题：

考虑以下操作：

• 选择一个顶点，删除该顶点及其所有连接的边。

通过重复上述操作，判断是否能够满足以下条件：

• 从顶点 $1$ 出发，通过边能够到达的顶点集合恰好为 {1,2,…,k}\{1,2,\ldots,k\}{1,2,…,k}（共 $k$ 个顶点）。

如果可能，求出满足条件所需的最少操作次数；否则输出 -1。

输入格式

输入通过标准输入给出，格式如下：

$N$ $M$
$u_1$ $v_1$
$u_2$ $v_2$
$⋮$
$u_M$ $v_M$

输出格式

输出 $N$ 行。第 $i$ 行 $(1\le i\le N)$ 输出 $k=i$ 时的答案：若无法满足条件则输出 -1，否则输出所需的最少操作次数。

输入输出样例 #1

输入 #1

6 7
1 2
1 5
2 3
2 4
2 5
3 6
5 6

输出 #1

2
3
3
2
1
0

输入输出样例 #2

输入 #2

5 4
1 5
2 3
3 4
4 5

输出 #2

1
-1
-1
-1
0

输入输出样例 #3

输入 #3

2 0

输出 #3

0
-1

输入输出样例 #4

输入 #4

11 25
6 9
5 9
2 3
1 9
10 11
4 5
9 10
8 9
7 8
3 5
1 7
6 10
4 7
7 9
1 10
4 11
3 8
2 7
3 4
1 8
2 8
3 7
2 10
1 6
6 11

输出 #4

5
-1
-1
-1
-1
-1
4
3
2
1
0

说明/提示

约束条件

• $1\le N\le 2\times 10^5$
• $0\le M\le 3\times 10^5$
• $1\le u_i<v_i\le N$ $(1\le i\le M)$
• $(u_i,v_i)\ne (u_j,v_j)$ $(1\le i<j\le M)$
• 输入的所有数值均为整数

样例解释 1

例如，当 $k=2$ 时，可以通过删除顶点 $3$、顶点 $4$ 和顶点 $5$（共 3 次操作），使得从顶点 $1$ 可达的顶点仅为 {1,2}\{1,2\}{1,2}。由于无法通过少于 3 次操作满足条件，因此第 2 行输出 3。
当 $k=6$ 时，不需要删除任何顶点即可满足条件，因此第 6 行输出 0。

样例解释 3

图中可能不存在任何边。

思路详解

确定算法

我们先思考如何快速判断与1连通的连通块只包含$1-k$的节点呢？连通块大小$siz==k$？光这个条件还不够，我们还要添加一个条件。所有的节点编号都小于$k$？那现在可以了。求连通块和连通块大小可以使用并查集。每次枚举$k$，加入相连的节点都小于$k$的边。判断1所在连通块大小即可。

实现方法

思考如何每次加入要加的边。我们可以用一个邻接表$e_i$记录每一个连接了$i$的点。当我们枚举$k==i$时，我们就判断与$i$相连的节点$j$是否满足$j<=k$，如果是则直接合并。不是则删除。但是我们还是需要考虑一下如何删除？

我们发现当前$j$不是不代表以后$j$不是，我们可以使用一个$set$记录删除了哪些节点。需要删除了则加入$set$。当$k==j$时，就从$set$中删除$j$。每次删除的数量即为$set.size()$。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=6e5+5;
int n,m;
int siz[N],fa[N];
int find(int x){return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);}
void unio(int x,int y){int f1=find(x),f2=find(y);if(f1!=f2){fa[f1]=f2;siz[f2]+=siz[f1];//合并记得更新siz}
}
vector<int>a[N];
int o=0;
set<int>se;//保存删除了的点
int main(){
//首先考虑如何保证与1可到达的恰好为1-k
//若与1相连的恰好只有k个且删去了所以大于k的边肯定可以
//但是我们不用删去大于k的所有点，只需去除那些会和不大于k的节点相连的即可
//由于要记录一个连通块内的点的个数，我们想到了并查集
//对于一开始删去的点，我们后面可能将其加入回去，所以我们要将边给每个节点复制一次，以便后来可以再次访问到这条边
//我们要记录删去的点的数量，又可能将一些点加入或移除，考虑直接使用setcin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i,siz[i]=1;for(int i=1;i<=m;i++){int x,y;cin>>x>>y;a[x].push_back(y);a[y].push_back(x);}for(int i=1;i<=n;i++){if(se.count(i))se.erase(i);//需要当前节点，将其移除for(int j:a[i]){if(j<=i){//小于i就加入unio(i,j);}else{se.insert(j);}//否则这个节点需要删除}if(siz[find(i)]!=i)cout<<-1<<'\n';//判断是否能够恰好到达i个节点else cout<<se.size()<<'\n';//能则输出需要删除的点数}return 0;
}