概率论基础教程第5章 连续型随机变量(三)

5.5 指数随机变量

指数随机变量是一种重要的连续型随机变量，常用于描述等待时间或寿命。

定义

概率密度

如果随机变量 $X$ 的密度函数为：
$$\boxed{f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x}& \text{if }x\ge 0\\ 0& \text{if }x<0\end{array}}$$
其中 $\lambda >0$ 是参数，则称 $X$ 为参数为 $\lambda$ 的指数随机变量。

分布函数

指数随机变量的分布函数为：
F(a)=P{X⩽a}=∫0aλe−λx dx=1−e−λaa⩾0 \boxed{F(a) = P\{X \leqslant a\} = \int_0^a \lambda e^{-\lambda x} \, \mathrm{d}x = 1 - e^{-\lambda a} \qquad a \geqslant 0} F(a)=P{X⩽a}=∫0a​λe−λxdx=1−e−λaa⩾0​

验证：

• $f(x)\ge 0$ 对所有 $x$ 成立
• ${\int }_0^{\infty }\lambda e^{-\lambda x}\mathrm{d}x=-e^{-\lambda x}{|}_0^{\infty }=1$，满足归一性条件

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期望与方差

例 5a：计算期望和方差

解：

1. 计算 $E[X^n]$：
   $$E[X^n]={\int }_0^{\infty }{x}^n\lambda e^{-\lambda x}\mathrm{d}x$$
   使用分部积分法（令 $u=x^n$，$\mathrm{d}v=\lambda e^{-\lambda x}\mathrm{d}x$）：
   $$E[X^n]=-x^n{e}^{-\lambda x}{|}_0^{\infty }+{\int }_0^{\infty }{e}^{-\lambda x}n{x}^{n-1}\mathrm{d}x=\frac{n}{\lambda }E[X^{n-1}]$$

2. 计算 $E[X]$（令 $n=1$）：
   $$E[X]=\frac{1}{\lambda }E[X^0]=\frac{1}{\lambda }\cdot 1=\frac{1}{\lambda }$$

3. 计算 $E[X^2]$（令 $n=2$）：
   $$E[X^2]=\frac{2}{\lambda }E[X]=\frac{2}{\lambda }\cdot \frac{1}{\lambda }=\frac{2}{{\lambda }^2}$$

4. 计算方差：
   $$\begin{array}{rl}Var(X)& =E[X^2]-(E[X]{)}^2\\ & =\frac{2}{{\lambda }^2}-{\left(\frac{1}{\lambda }\right)}^2\\ & =\frac{1}{{\lambda }^2}\end{array}$$

结论：

• 期望：$\boxed{E[X]=\frac{1}{\lambda }}$
• 方差：$\boxed{Var(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}}$

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无记忆性

一个非负随机变量 $X$ 称为无记忆的（memoryless），如果：
P{X>s+t∣X>t}=P{X>s}for all s,t≥0(5.1) \boxed{P\{X > s+t \mid X > t\} = P\{X > s\} \quad \text{for all } s, t \ge 0} \tag{5.1} P{X>s+t∣X>t}=P{X>s}for all s,t≥0​(5.1)

直观解释：

• 如果设备已经工作了 $t$ 小时且仍在工作，则它还能再工作 $s$ 小时的概率，与设备刚开始工作时能工作 $s$ 小时的概率相同
• 设备"忘记"了它已经工作了多长时间

式 (5.1) 等价于：
P{X>s+t}=P{X>s}P{X>t}(5.2) \boxed{P\{X > s+t\} = P\{X > s\}P\{X > t\}} \tag{5.2} P{X>s+t}=P{X>s}P{X>t}​(5.2)

证明：
P{X>s+t∣X>t}=P{X>s+t,X>t}P{X>t}=P{X>s+t}P{X>t} \begin{aligned} P\{X > s+t \mid X > t\} &= \frac{P\{X > s+t, X > t\}}{P\{X > t\}} \\ &= \frac{P\{X > s+t\}}{P\{X > t\}} \end{aligned} P{X>s+t∣X>t}​=P{X>t}P{X>s+t,X>t}​=P{X>t}P{X>s+t}​​

• 对于指数分布，P{X>x}=e−λxP\{X > x\} = e^{-\lambda x}P{X>x}=e−λx

• 代入得：
  P{X>s+t∣X>t}=P{X>s+t}P{X>t}=e−λ(s+t)e−λt=e−λs=P{X>s} \begin{aligned} P\{X > s+t \mid X > t\} &= \frac{P\{X > s+t\}}{P\{X > t\}} \\ &= \frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda t}} \\ &= e^{-\lambda s} \\ &= P\{X > s\} \end{aligned} P{X>s+t∣X>t}​=P{X>t}P{X>s+t}​=e−λte−λ(s+t)​=e−λs=P{X>s}​

所以5.2成立

对于指数随机变量：
P{X>x}=1−F(x)=e−λx P\{X > x\} = 1 - F(x) = e^{-\lambda x} P{X>x}=1−F(x)=e−λx

验证式 (5.2)：
P{X>s+t}=e−λ(s+t)=e−λse−λt=P{X>s}P{X>t} P\{X > s+t\} = e^{-\lambda(s+t)} = e^{-\lambda s} e^{-\lambda t} = P\{X > s\}P\{X > t\} P{X>s+t}=e−λ(s+t)=e−λse−λt=P{X>s}P{X>t}

因此，指数随机变量是无记忆的。

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例题

例 5b：电话通话时长

假设电话通话时长 $X$ 是参数为 $\lambda =\frac{1}{10}$ 的指数随机变量（即平均通话时长为 10 分钟）。

(a) 等待时间超过 10 分钟的概率：
P{X>10}=1−F(10)=e−λ⋅10=e−1≈0.368 P\{X > 10\} = 1 - F(10) = e^{-\lambda \cdot 10} = e^{-1} \approx 0.368 P{X>10}=1−F(10)=e−λ⋅10=e−1≈0.368

(b) 等待时间在 10 到 20 分钟之间的概率：
P{10<X<20}=F(20)−F(10)=(1−e−λ⋅20)−(1−e−λ⋅10)=e−1−e−2≈0.233 \begin{aligned} P\{10 < X < 20\} &= F(20) - F(10) \\ &= (1 - e^{-\lambda \cdot 20}) - (1 - e^{-\lambda \cdot 10}) \\ &= e^{-1} - e^{-2} \approx 0.233 \end{aligned} P{10<X<20}​=F(20)−F(10)=(1−e−λ⋅20)−(1−e−λ⋅10)=e−1−e−2≈0.233​

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例 5c：邮局问题

史密斯先生走进邮局时，发现两个职员正在接待琼斯女士和布朗先生。史密斯先生被告知，一旦处理完琼斯或布朗的事情，就开始接待他。如果职员给每位顾客服务的时间都服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，求史密斯先生是最后一个办完事情的概率。

解：

1. 当史密斯开始接受服务时，琼斯女士和布朗先生中有一个已经离开，另一个仍在继续接受服务
2. 由于指数分布的无记忆性，仍在接受服务的顾客（琼斯女士或布朗先生）的剩余服务时间服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，与刚开始接受服务时相同
3. 由对称性可知，剩下的一个人在史密斯先生之前完成服务的概率为 $\frac{1}{2}$

因此，史密斯先生是最后一个办完事情的概率为 $\boxed{\frac{1}{2}}$。

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例 5d：汽车电池问题

汽车在电池电量用完之前跑的英里数服从均值为 10,000 英里的指数分布。某人计划开始一个 5,000 英里的旅行，求不用更换电池就能跑完全程的概率。

解：

1. 服从指数分布的情况：

   • 由于无记忆性，电池剩余寿命服从参数为 $\lambda =\frac{1}{10}$（单位：千英里）的指数分布

   • 所求概率：
     P{电池能跑完 5,000 英里}=P{X>5}=e−λ⋅5=e−0.5≈0.6065 P\{\text{电池能跑完 5,000 英里}\} = P\{X > 5\} = e^{-\lambda \cdot 5} = e^{-0.5} \approx 0.6065 P{电池能跑完 5,000 英里}=P{X>5}=e−λ⋅5=e−0.5≈0.6065

2. 不服从指数分布的情况：

   • 设 $t$ 表示旅行前电池已跑过的里程数（单位：千英里）

   • 所求概率：
     P{X>t+5∣X>t}=1−F(t+5)1−F(t) P\{X > t+5 \mid X > t\} = \frac{1-F(t+5)}{1-F(t)} P{X>t+5∣X>t}=1−F(t)1−F(t+5)​

   • 需要知道 $t$ 的值才能计算

结论：

• 服从指数分布时：概率为 $e^{-0.5}\approx 0.6065$
• 不服从指数分布时：需要额外信息（已跑里程 $t$）

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拉普拉斯分布

拉普拉斯分布（也称为双指数分布）是指数分布的扩展。

定义

拉普拉斯随机变量的密度函数为：
$$f(x)=\frac{1}{2}\lambda e^{-\lambda |x|}-\infty <x<\infty$$

分布函数
$$F(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{e}^{\lambda x}& x\le 0\\ 1-\frac{1}{2}{e}^{-\lambda x}& x>0\end{array}$$

例 5e：电信信号传输

• 传输机制：
  • 当传输信息为 1 时，发送值为 2
  • 当传输信息为 0 时，发送值为 -2
  • 接收到的信号为 $R=x+N$，其中 $x$ 是发送值，$N$ 是噪声
• 解码规则：
  • 如果 $R\ge 0.5$，则解码为 1
  • 如果 $R<0.5$，则解码为 0

当噪声为参数 $\lambda =1$ 的拉普拉斯随机变量时：

1. 信息 1 被错误认为 0 的概率（当 $R<0.5$）：
   P{N<−1.5}=12e−1.5≈0.1116 P\{N < -1.5\} = \frac{1}{2} e^{-1.5} \approx 0.1116 P{N<−1.5}=21​e−1.5≈0.1116

2. 信息 0 被错误认为 1 的概率（当 $R\ge 0.5$）：
   P{N≥2.5}=12e−2.5≈0.041 P\{N \geq 2.5\} = \frac{1}{2} e^{-2.5} \approx 0.041 P{N≥2.5}=21​e−2.5≈0.041

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危险率函数

危险率函数（hazard rate function）是可靠性工程中的重要概念。

定义

对于正值连续型随机变量 $X$（表示寿命），危险率函数定义为：
$$\boxed{\lambda (t)=\frac{f(t)}{\overline{F}(t)},\text{where }\overline{F}(t)=1-F(t)}$$

考虑零件已经使用了 $t$ 小时，不能继续使用 $dt$ 小时的条件概率：
P{X∈(t,t+dt)∣X>t}=P{X∈(t,t+dt),X>t}P{X>t}=P{X∈(t,t+dt)}P{X>t}≈f(t) dtF‾(t)=λ(t) dt \begin{aligned} P\{X \in (t, t+dt) \mid X > t\} &= \frac{P\{X \in (t, t+dt), X > t\}}{P\{X > t\}} \\ &= \frac{P\{X \in (t, t+dt)\}}{P\{X > t\}} \\ &\approx \frac{f(t) \, dt}{\overline{F}(t)} \\ &= \lambda(t) \, dt \end{aligned} P{X∈(t,t+dt)∣X>t}​=P{X>t}P{X∈(t,t+dt),X>t}​=P{X>t}P{X∈(t,t+dt)}​≈F(t)f(t)dt​=λ(t)dt​

因此，$\lambda (t)$ 表示使用时间为 $t$ 的零件不能再继续使用的条件概率强度。

对于指数分布：
$$\lambda (t)=\frac{f(t)}{\overline{F}(t)}=\frac{\lambda e^{-\lambda t}}{e^{-\lambda t}}=\lambda$$

结论：指数分布的危险率函数是常数 $\lambda$。

[!TIP]
指数分布是唯一具有常数危险率的分布。如果 $\lambda (t)=\lambda$（常数），则 $F(t)=1-e^{-\lambda t}$。

危险率函数 $\lambda (s)$ 可以唯一确定分布函数 $F$：
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^t\lambda (s)\mathrm{d}s& ={\int }_0^t\frac{f(s)}{1-F(s)}\mathrm{d}s\\ & =-\ln (1-F(s)){|}_0^t\\ & =-\ln (1-F(t))+\ln (1-F(0))\\ & =-\ln (1-F(t))(\text{因为 }F(0)=0)\end{array}$$

解得：
$$\boxed{F(t)=1-\exp \left\{-{\int }_0^t\lambda (s)\mathrm{d}s\right\}}\text{\hspace{1em}(5.4)}$$

例 5f：吸烟者死亡率

问题：各个年龄段吸烟者的死亡率是非吸烟者死亡率的两倍，这意味着什么？

解：

• 设 ${\lambda }_s(t)$ 为吸烟者的危险率函数
• 设 ${\lambda }_n(t)$ 为非吸烟者的危险率函数
• 条件：${\lambda }_s(t)=2{\lambda }_n(t)$

年龄为 $A$ 的非吸烟者能活到年龄 $B$ ($A<B$) 的概率：
P{非吸烟者活到 B∣活到 A}=P{X>B}P{X>A}=exp⁡{−∫0Bλn(t) dt}exp⁡{−∫0Aλn(t) dt}=exp⁡{−∫ABλn(t) dt} \begin{aligned} P\{\text{非吸烟者活到 } B \mid \text{活到 } A\} &= \frac{P\{X > B\}}{P\{X > A\}} \\ &= \frac{\exp\left\{-\int_0^B \lambda_n(t) \, \mathrm{d}t\right\}}{\exp\left\{-\int_0^A \lambda_n(t) \, \mathrm{d}t\right\}} \\ &= \exp\left\{-\int_A^B \lambda_n(t) \, \mathrm{d}t\right\} \end{aligned} P{非吸烟者活到 B∣活到 A}​=P{X>A}P{X>B}​=exp{−∫0A​λn​(t)dt}exp{−∫0B​λn​(t)dt}​=exp{−∫AB​λn​(t)dt}​

年龄为 $A$ 的吸烟者能活到年龄 $B$ 的概率：
P{吸烟者活到 B∣活到 A}=exp⁡{−∫ABλs(t) dt}=exp⁡{−2∫ABλn(t) dt}=[exp⁡{−∫ABλn(t) dt}]2 \begin{aligned} P\{\text{吸烟者活到 } B \mid \text{活到 } A\} &= \exp\left\{-\int_A^B \lambda_s(t) \, \mathrm{d}t\right\} \\ &= \exp\left\{-2\int_A^B \lambda_n(t) \, \mathrm{d}t\right\} \\ &= \left[\exp\left\{-\int_A^B \lambda_n(t) \, \mathrm{d}t\right\}\right]^2 \end{aligned} P{吸烟者活到 B∣活到 A}​=exp{−∫AB​λs​(t)dt}=exp{−2∫AB​λn​(t)dt}=[exp{−∫AB​λn​(t)dt}]2​

结论：

• 吸烟者能存活到给定年龄的概率是非吸烟者的相应概率的平方
• 而不是"非吸烟者概率的一半"

具体例子：

• 如果 ${\lambda }_n(t)=\frac{1}{20}$（$50\le t\le 60$）
• 50 岁非吸烟者活到 60 岁的概率：$e^{-1/2}\approx 0.6065$
• 50 岁吸烟者活到 60 岁的概率：$e^{-1}\approx 0.3679$

5.6 Γ分布

定义

如果随机变量的密度函数为：
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\lambda e^{-\lambda x}(\lambda x{)}^{\alpha -1}}{\Gamma (\alpha )}& x\ge 0\\ 0& x<0\end{array}$$
其中 $\alpha >0$，$\lambda >0$，$\Gamma (\alpha )$ 是 Γ 函数，则称该随机变量服从参数为 $(\alpha ,\lambda )$ 的 Γ 分布。

Γ 函数定义为：
$$\Gamma (\alpha )={\int }_0^{\infty }{e}^{-y}{y}^{\alpha -1}\mathrm{d}y$$

性质：

1. $\Gamma (\alpha )=(\alpha -1)\Gamma (\alpha -1)$

首先，回顾Γ函数的定义：
$$\Gamma (\alpha )={\int }_0^{\infty }{e}^{-x}{x}^{\alpha -1}\mathrm{d}x,\alpha >0$$

我们使用分部积分法来证明递推关系。令：

• $u=x^{\alpha -1}$，则 $\mathrm{d}u=(\alpha -1)x^{\alpha -2}\mathrm{d}x$
• $\mathrm{d}v=e^{-x}\mathrm{d}x$，则 $v=-e^{-x}$

应用分部积分公式 $\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u$：

$$\begin{array}{rl}\Gamma (\alpha )& ={\int }_0^{\infty }{e}^{-x}{x}^{\alpha -1}\mathrm{d}x\\ & ={\left[-x^{\alpha -1}{e}^{-x}\right]}_0^{\infty }-{\int }_0^{\infty }(-e^{-x})\cdot (\alpha -1)x^{\alpha -2}\mathrm{d}x\\ & ={\left[-x^{\alpha -1}{e}^{-x}\right]}_0^{\infty }+(\alpha -1){\int }_0^{\infty }{e}^{-x}{x}^{\alpha -2}\mathrm{d}x\end{array}$$

现在分析边界项 ${\left[-x^{\alpha -1}{e}^{-x}\right]}_0^{\infty }$：

1. 当 $x\to \infty$ 时：

   • $x^{\alpha -1}$ 是多项式增长
   • $e^{-x}$ 是指数衰减
   • 指数衰减比多项式增长更快，因此 $x^{\alpha -1}{e}^{-x}\to 0$

2. 当 $x\to 0^{+}$ 时：

   • 如果 $\alpha >1$，则 $x^{\alpha -1}\to 0$
   • 如果 $0<\alpha \le 1$，需要更仔细分析：
     • $x^{\alpha -1}=\frac{1}{x^{1-\alpha }}$
     • 由于 $1-\alpha \ge 0$，当 $x\to 0^{+}$ 时，$x^{1-\alpha }\to 0$，但 $e^{-x}\to 1$
     • 实际上，$x^{\alpha -1}{e}^{-x}\sim x^{\alpha -1}$，而 $\alpha -1>-1$（因为 $\alpha >0$）
     • 这保证了积分在 $x=0$ 处收敛

因此，边界项为零：
$${\left[-x^{\alpha -1}{e}^{-x}\right]}_0^{\infty }=0$$

代入得：
$$\begin{array}{rl}\Gamma (\alpha )& =0+(\alpha -1){\int }_0^{\infty }{e}^{-x}{x}^{\alpha -2}\mathrm{d}x\\ & =(\alpha -1)\Gamma (\alpha -1)\end{array}$$

这就证明了递推关系：
$$\boxed{\Gamma (\alpha )=(\alpha -1)\Gamma (\alpha -1)}$$

[!NOTE]
这个递推关系对所有 $\alpha >1$ 成立，因为需要 $\alpha -1>0$ 以保证 $\Gamma (\alpha -1)$ 有定义。

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2. $\Gamma (n)=(n-1)!$

我们使用数学归纳法来证明这个性质。

基础步骤：$n=1$

计算 $\Gamma (1)$：
$$\begin{array}{rl}\Gamma (1)& ={\int }_0^{\infty }{e}^{-x}{x}^{1-1}\mathrm{d}x\\ & ={\int }_0^{\infty }{e}^{-x}\mathrm{d}x\\ & ={\left[-e^{-x}\right]}_0^{\infty }\\ & =-(0-1)\\ & =1\end{array}$$

而 $0!=1$，所以：
$$\Gamma (1)=0!$$

基础步骤成立。

归纳假设

假设对某个正整数 $k$，有：
$$\Gamma (k)=(k-1)!$$

归纳步骤

我们需要证明：
$$\Gamma (k+1)=k!$$

根据已证明的递推关系：
$$\Gamma (k+1)=k\cdot \Gamma (k)$$

代入归纳假设：
$$\Gamma (k+1)=k\cdot (k-1)!=k!$$

因此，由数学归纳法，对所有正整数 $n$：
$$\boxed{\Gamma (n)=(n-1)!}$$

Γ 分布常用于表示某个事件总共发生 $n$ 次的等待时间。

证明：设 $T_n$ 为第 $n$ 个事件发生的时间，则：
P{Tn⩽t}=P{N(t)⩾n}=∑j=n∞e−λt(λt)jj! P\{T_n \leqslant t\} = P\{N(t) \geqslant n\} = \sum_{j=n}^{\infty} \frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^j}{j!} P{Tn​⩽t}=P{N(t)⩾n}=j=n∑∞​j!e−λt(λt)j​
其中 $N(t)$ 是 $[0,t]$ 内发生的事件数，服从参数为 $\lambda t$ 的泊松分布。

对上式求导得 $T_n$ 的密度函数：

fTn(t)=ddtP{Tn≤t}=ddt∑j=n∞e−λt(λt)jj! f_{T_n}(t) = \frac{d}{dt} P\{T_n \leq t\} = \frac{d}{dt} \sum_{j=n}^{\infty} \frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^j}{j!} fTn​​(t)=dtd​P{Tn​≤t}=dtd​j=n∑∞​j!e−λt(λt)j​

由于级数在 $ t \geq 0 $ 上一致收敛（因为泊松分布的概率和为1），我们可以交换导数与求和顺序：

$$f_{T_n}(t)=\sum _{j=n}^{\infty }\frac{d}{dt}\left(\frac{e^{-\lambda t}(\lambda t{)}^j}{j!}\right)$$

我们对通项求导：

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{e^{-\lambda t}(\lambda t{)}^j}{j!}\right)=\frac{1}{j!}\cdot \frac{d}{dt}\left(e^{-\lambda t}(\lambda t{)}^j\right)$$

$$\frac{d}{dt}\left(e^{-\lambda t}(\lambda t{)}^j\right)=-\lambda e^{-\lambda t}(\lambda t{)}^j+e^{-\lambda t}\cdot j\lambda (\lambda t{)}^{j-1}=\lambda e^{-\lambda t}(\lambda t{)}^{j-1}\left(-\lambda t+j\right)$$

代入原式：

$$f_{T_n}(t)=\sum _{j=n}^{\infty }\frac{\lambda e^{-\lambda t}(\lambda t{)}^{j-1}}{j!}(j-\lambda t)$$

我们将求和拆成两部分：

$$f_{T_n}(t)=\lambda e^{-\lambda t}\sum _{j=n}^{\infty }\frac{(\lambda t{)}^{j-1}}{j!}(j-\lambda t)=\lambda e^{-\lambda t}\left[\sum _{j=n}^{\infty }\frac{j(\lambda t{)}^{j-1}}{j!}-\lambda t\sum _{j=n}^{\infty }\frac{(\lambda t{)}^{j-1}}{j!}\right]$$

简化：

处理第一项：
$$\sum _{j=n}^{\infty }\frac{(\lambda t{)}^{j-1}}{(j-1)!}=\sum _{k=n-1}^{\infty }\frac{(\lambda t{)}^k}{k!}\text{令 }k=j-1$$

处理第二项：
$$\sum _{j=n}^{\infty }\frac{(\lambda t{)}^{j-1}}{j!}=\sum _{j=n}^{\infty }\frac{(\lambda t{)}^{j-1}}{j\cdot (j-1)!}=\sum _{k=n-1}^{\infty }\frac{(\lambda t{)}^k}{(k+1)!}\text{令 }k=j-1$$

所以：

$$f_{T_n}(t)=\lambda e^{-\lambda t}\left[\sum _{k=n-1}^{\infty }\frac{(\lambda t{)}^k}{k!}-\lambda t\sum _{k=n-1}^{\infty }\frac{(\lambda t{)}^k}{(k+1)!}\right]$$

考虑第二项中的 $ \lambda t \sum_{k=n-1}^{\infty} \frac{(\lambda t)^k}{(k+1)!} $

令 $ m = k+1 $，则当 $ k = n-1 $ 时，$ m = n $，所以：

$$\sum _{k=n-1}^{\infty }\frac{(\lambda t{)}^k}{(k+1)!}=\sum _{m=n}^{\infty }\frac{(\lambda t{)}^{m-1}}{m!}\Rightarrow \lambda t\sum _{k=n-1}^{\infty }\frac{(\lambda t{)}^k}{(k+1)!}=\sum _{m=n}^{\infty }\frac{(\lambda t{)}^m}{m!}$$

因此第二项变为：

$$\lambda t\sum _{k=n-1}^{\infty }\frac{(\lambda t{)}^k}{(k+1)!}=\sum _{m=n}^{\infty }\frac{(\lambda t{)}^m}{m!}$$

而第一项是：

$$\sum _{k=n-1}^{\infty }\frac{(\lambda t{)}^k}{k!}=\frac{(\lambda t{)}^{n-1}}{(n-1)!}+\sum _{k=n}^{\infty }\frac{(\lambda t{)}^k}{k!}$$

所以代入回原式：

$$f_{T_n}(t)=\lambda e^{-\lambda t}\left[\left(\frac{(\lambda t{)}^{n-1}}{(n-1)!}+\sum _{k=n}^{\infty }\frac{(\lambda t{)}^k}{k!}\right)-\sum _{m=n}^{\infty }\frac{(\lambda t{)}^m}{m!}\right]$$

注意到两个无穷级数相同，相减为零，剩下：

$$f_{T_n}(t)=\lambda e^{-\lambda t}\cdot \frac{(\lambda t{)}^{n-1}}{(n-1)!}$$

即：

$$f_{T_n}(t)=\frac{\lambda e^{-\lambda t}(\lambda t{)}^{n-1}}{(n-1)!}$$

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可证:

$$\boxed{f_{T_n}(t)=\frac{d}{dt}P(T_n\le t)=\frac{\lambda e^{-\lambda t}(\lambda t{)}^{n-1}}{(n-1)!}}$$

这正是参数为 $(n,\lambda )$ 的 Γ 分布。

[!NOTE]

• 当 $n=1$ 时，Γ 分布退化为指数分布
• 当 $\lambda =\frac{1}{2}$，$\alpha =\frac{n}{2}$ 时，称为自由度为 $n$ 的 ${\chi }^2$ 分布

期望和方差

• 期望：$\boxed{E[X]=\frac{\alpha }{\lambda }}$
• 方差：$\boxed{Var(X)=\frac{\alpha }{{\lambda }^2}}$

我们计算：

$$\mathbb{E}[X]={\int }_0^{\infty }x\cdot f_X(x)dx={\int }_0^{\infty }x\cdot \frac{{\lambda }^{\alpha }{x}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda x}}{\Gamma (\alpha )}dx=\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{\int }_0^{\infty }{x}^{\alpha }{e}^{-\lambda x}dx$$

令 $ u = \lambda x $，则 $ x = u / \lambda $，$ dx = du / \lambda $

代入：

$${\int }_0^{\infty }{x}^{\alpha }{e}^{-\lambda x}dx={\int }_0^{\infty }{\left(\frac{u}{\lambda }\right)}^{\alpha }{e}^{-u}\cdot \frac{du}{\lambda }=\frac{1}{{\lambda }^{\alpha +1}}{\int }_0^{\infty }{u}^{\alpha }{e}^{-u}du=\frac{\Gamma (\alpha +1)}{{\lambda }^{\alpha +1}}$$

因此：

$$\mathbb{E}[X]=\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}\cdot \frac{\Gamma (\alpha +1)}{{\lambda }^{\alpha +1}}=\frac{\Gamma (\alpha +1)}{\lambda \Gamma (\alpha )}$$

利用伽马函数的性质：$ \Gamma(\alpha + 1) = \alpha \Gamma(\alpha) $，所以：

$$\mathbb{E}[X]=\frac{\alpha \Gamma (\alpha )}{\lambda \Gamma (\alpha )}=\frac{\alpha }{\lambda }$$

$$\mathbb{E}[X^2]={\int }_0^{\infty }{x}^2{f}_X(x)dx=\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{\int }_0^{\infty }{x}^{\alpha +1}{e}^{-\lambda x}dx$$

同样令 $ u = \lambda x $，则 $ x = u / \lambda $，$ dx = du / \lambda $，代入：

$${\int }_0^{\infty }{x}^{\alpha +1}{e}^{-\lambda x}dx={\int }_0^{\infty }{\left(\frac{u}{\lambda }\right)}^{\alpha +1}{e}^{-u}\cdot \frac{du}{\lambda }=\frac{1}{{\lambda }^{\alpha +2}}{\int }_0^{\infty }{u}^{\alpha +1}{e}^{-u}du=\frac{\Gamma (\alpha +2)}{{\lambda }^{\alpha +2}}$$

所以：

$$\mathbb{E}[X^2]=\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}\cdot \frac{\Gamma (\alpha +2)}{{\lambda }^{\alpha +2}}=\frac{\Gamma (\alpha +2)}{{\lambda }^2\Gamma (\alpha )}$$

利用递推关系：

• $ \Gamma(\alpha + 2) = (\alpha + 1)\Gamma(\alpha + 1) = (\alpha + 1)\alpha \Gamma(\alpha) $

因此：

$$\mathbb{E}[X^2]=\frac{(\alpha +1)\alpha \Gamma (\alpha )}{{\lambda }^2\Gamma (\alpha )}=\frac{\alpha (\alpha +1)}{{\lambda }^2}$$

$$\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-(\mathbb{E}[X]{)}^2=\frac{\alpha (\alpha +1)}{{\lambda }^2}-{\left(\frac{\alpha }{\lambda }\right)}^2=\frac{\alpha (\alpha +1)-{\alpha }^2}{{\lambda }^2}=\frac{\alpha }{{\lambda }^2}$$

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5.7 韦布尔分布

定义

韦布尔分布的分布函数为：
$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0& x\le \nu \\ 1-\exp \left\{-{\left(\frac{x-\nu }{\alpha }\right)}^{\beta }\right\}& x>\nu \end{array}$$

密度函数为：
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0& x⩽\nu \\ \frac{\beta }{\alpha }{\left(\frac{x-\nu }{\alpha }\right)}^{\beta -1}\exp \left\{-{\left(\frac{x-\nu }{\alpha }\right)}^{\beta }\right\}& x>\nu \end{array}$$

应用

韦布尔分布广泛应用于：

• 疲劳数据分析
• 生命现象研究
• "最弱链"模型（当对象的任何一部分毁坏时，对象寿命终止）

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5.8 柯西分布

定义

柯西分布的密度函数为：
$$f(x)=\frac{1}{\pi }\frac{1}{1+(x-\theta {)}^2}-\infty <x<+\infty$$

例题

问题：一束光线围绕 y 轴上距离 x 轴一个单位的中心旋转，求光线指向 x 轴上点 $X$ 的分布。

解：

• 光线与 y 轴夹角 $\theta$ 服从 $(-\pi /2,\pi /2)$ 上的均匀分布

• $X=\tan \theta$

• 分布函数：
  F(x)=P{X≤x}=P{tan⁡θ≤x}=P{θ≤arctan⁡x}=12+1πarctan⁡x F(x) = P\{X \leq x\} = P\{\tan\theta \leq x\} = P\{\theta \leq \arctan x\} = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\arctan x F(x)=P{X≤x}=P{tanθ≤x}=P{θ≤arctanx}=21​+π1​arctanx

• 密度函数：
  $$f(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F(x)=\frac{1}{\pi (1+x^2)}$$

因此，$X$ 服从柯西分布。

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5.9 β分布

定义

β分布的密度函数为：
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{B(a,b)}{x}^{a-1}(1-x{)}^{b-1}& 0<x<1\\ 0& \text{其他}\end{array}$$

其中 $B(a,b)$ 是 β 函数：
$$B(a,b)={\int }_0^1{x}^{a-1}(1-x{)}^{b-1}\mathrm{d}x$$

β 函数与 Γ 函数的关系

$$B(a,b)=\frac{\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b)}$$

期望和方差

• 期望：$\boxed{E[X]=\frac{a}{a+b}}$
• 方差：$\boxed{Var(X)=\frac{ab}{(a+b{)}^2(a+b+1)}}$

特性

• 当 $a=b$ 时，密度函数关于 $x=\frac{1}{2}$ 对称
• 当 $a=b=1$ 时，退化为 $(0,1)$ 上的均匀分布
• 当 $b>a$ 时，密度函数向左偏斜
• 当 $a>b$ 时，密度函数向右偏斜

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5.10 随机变量函数的分布

定理 7.1

设 $X$ 为连续型随机变量，密度函数为 $f_X$。设 $g(x)$ 为严格单调（递增或递减）且可微的函数，则随机变量 $Y=g(X)$ 的密度函数为：
$$\boxed{f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{f}_X[g^{-1}(y)]\left|\frac{d}{dy}{g}^{-1}(y)\right|& \text{if }y=g(x)\text{ for some }x\\ 0& \text{if }y\ne g(x)\text{ for any }x\end{array}}$$

其中 $g^{-1}(y)$ 是满足 $g(x)=y$ 的 $x$ 值。

证明（$g(x)$ 递增的情况）
FY(y)=P{g(X)≤y}=P{X≤g−1(y)}=FX(g−1(y)) \begin{aligned} F_Y(y) &= P\{g(X) \leq y\} \\ &= P\{X \leq g^{-1}(y)\} \\ &= F_X(g^{-1}(y)) \end{aligned} FY​(y)​=P{g(X)≤y}=P{X≤g−1(y)}=FX​(g−1(y))​

求导得：
$$f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\frac{d}{dy}{g}^{-1}(y)$$

由于 $g^{-1}(y)$ 单调非降，导数非负，因此：
$$f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\left|\frac{d}{dy}{g}^{-1}(y)\right|$$

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例题

例 7a：$Y=X^n$，其中 $X$ 服从 $(0,1)$ 上的均匀分布

• 分布函数：
  FY(y)=P{Y≤y}=P{Xn≤y}=P{X≤y1/n}=y1/n(0≤y≤1) F_Y(y) = P\{Y \leq y\} = P\{X^n \leq y\} = P\{X \leq y^{1/n}\} = y^{1/n} \quad (0 \leq y \leq 1) FY​(y)=P{Y≤y}=P{Xn≤y}=P{X≤y1/n}=y1/n(0≤y≤1)

• 密度函数：
  $$f_Y(y)=\frac{1}{n}{y}^{1/n-1}(0\le y\le 1)$$

例 7b：$Y=X^2$

• 分布函数：
  FY(y)=P{Y≤y}=P{−y≤X≤y}=FX(y)−FX(−y) F_Y(y) = P\{Y \leq y\} = P\{-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y}\} = F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y}) FY​(y)=P{Y≤y}=P{−y​≤X≤y​}=FX​(y​)−FX​(−y​)

• 密度函数：
  $$f_Y(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}[f_X(\sqrt{y})+f_X(-\sqrt{y})]$$

例 7c：$Y=|X|$

• 分布函数：
  FY(y)=P{Y≤y}=P{−y≤X≤y}=FX(y)−FX(−y) F_Y(y) = P\{Y \leq y\} = P\{-y \leq X \leq y\} = F_X(y) - F_X(-y) FY​(y)=P{Y≤y}=P{−y≤X≤y}=FX​(y)−FX​(−y)

• 密度函数：
  $$f_Y(y)=f_X(y)+f_X(-y)(y\ge 0)$$

例 7d：$Y=X^n$，其中 $X$ 是非负连续型随机变量

• $g(x)=x^n$，$g^{-1}(y)=y^{1/n}$

• $\frac{d}{dy}{g}^{-1}(y)=\frac{1}{n}{y}^{1/n-1}$

• 密度函数：
  $$f_Y(y)=\frac{1}{n}{y}^{1/n-1}f(y^{1/n})(y\ge 0)$$

例 7e：对数正态分布

如果 $X$ 服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $Y=e^X$ 服从对数正态分布。

• $g(x)=e^x$，$g^{-1}(y)=\ln (y)$

• $\frac{d}{dy}{g}^{-1}(y)=\frac{1}{y}$

• 密度函数：
  $$f_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma y}\exp \left\{-\frac{(\ln (y)-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right\}(y>0)$$

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本节小结

指数随机变量

特性	公式
密度函数	$f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x}& x\ge 0\\ 0& x<0\end{array}$
分布函数	$F(x)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-\lambda x}& x\ge 0\\ 0& x<0\end{array}$
期望	$E[X]=\frac{1}{\lambda }$
方差	$Var(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$
无记忆性	P{X>s+t∣X>t}=P{X>s}P\{X > s+t \mid X > t\} = P\{X > s\}P{X>s+t∣X>t}=P{X>s}
危险率函数	$\lambda (t)=\lambda$（常数）

其他连续分布

分布	密度函数	期望	方差
Γ分布	$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\lambda e^{-\lambda x}(\lambda x{)}^{\alpha -1}}{\Gamma (\alpha )}& x\ge 0\\ 0& x<0\end{array}$	$\frac{\alpha }{\lambda }$	$\frac{\alpha }{{\lambda }^2}$
韦布尔分布	$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\beta }{\alpha }{\left(\frac{x-\nu }{\alpha }\right)}^{\beta -1}{e}^{-{\left(\frac{x-\nu }{\alpha }\right)}^{\beta }}& x>\nu \\ 0& x\le \nu \end{array}$	-	-
柯西分布	$f(x)=\frac{1}{\pi }\frac{1}{1+(x-\theta {)}^2}$	不存在	不存在
β分布	$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{B(a,b)}{x}^{a-1}(1-x{)}^{b-1}& 0<x<1\\ 0& \text{其他}\end{array}$	$\frac{a}{a+b}$	$\frac{ab}{(a+b{)}^2(a+b+1)}$

随机变量函数的分布

• 定理 7.1：$f_Y(y)=f_X[g^{-1}(y)]\left|\frac{d}{dy}{g}^{-1}(y)\right|$
• 应用：
  • $Y=X^n$：$f_Y(y)=\frac{1}{n}{y}^{1/n-1}f(y^{1/n})$
  • $Y=|X|$：$f_Y(y)=f_X(y)+f_X(-y)$
  • 对数正态分布：$f_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma y}\exp \left\{-\frac{(\ln (y)-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right\}$