软考中级习题与解答——第一章_数据结构与算法基础（1）
例题1
1、理解基本概念：头指针 vs. 头结点
头指针 (Head Pointer)：它是一个指针，永远指向链表的“开头”。如果链表有第一个节点，它就指向第一个节点。如果链表是空的，它就是空指针 (NULL)。头指针是访问链表的入口。
头结点 (Head Node)：这是一个“额外”的、虚拟的节点，放在链表真正的第一个数据节点之前。 这个头结点本身不存储任何有效数据，它的作用是让所有节点（包括第一个数据节点）的操作方式都统一起来，从而简化代码逻辑。如果一个链表有头结点，那么头指针就指向这个头结点。
简单来说：
不带头结点的链表：头指针 -> 第一个数据节点 -> 第二个数据节点 -> ...
带头结点的链表：头指针 -> 头结点 -> 第一个数据节点 -> 第二个数据-> ...
2、分析删除操作
带头结点的线性链表：在这种结构中，头指针固定指向头结点，而头结点是不会被删除的。
删除第一个数据节点：要删除第一个数据节点，我们只需要找到它的前一个节点（也就是头结点），然后修改头结点的指针，让它跳过要被删除的节点，直接指向原来的第二个数据节点。在这个过程中，头指针始终指向头结点，没有发生任何改变。
删除其他节点：删除中间或尾部的节点，同样是找到它的前一个节点并修改指针，更不会影响到头指针。
结论：在带头结点的链表中，无论删除哪个节点，头指针始终指向固定的头结点，因此不需要更改头指针。
不带头结点的线性链表：在这种结构中，头指针直接指向第一个数据节点。
删除第一个数据节点：如果要删除的就是第一个节点，那么原来的头指针就失去了指向的对象。为了保证链表在删除后依然能被访问到，我们必须将头指针修改为指向原来的第二个数据节点，让它成为新的链表头。因此，需要更改头指针。
删除其他节点：如果要删除的不是第一个节点（比如第二个或之后的节点），我们只需要修改它前一个节点的指针即可，头指针因为它指向的是第一个节点，所以不受影响。
3. 逐一判断选项
A. 带头结点的线性链表删除结点时，不需要更改头指针
正确。正如我们分析的，头指针始终指向固定的头结点，删除任何数据节点都只涉及后续节点的指针修改，头指针本身不动。
B. 带头结点的线性链表删除第一个结点时，需要更改头指针
错误。删除第一个数据节点时，我们修改的是头结点的指针，而不是头指针。
C. 不带头结点的线性链表删除结点时，需要更改头指针
错误。这种说法太绝对了。只有在删除第一个节点时才需要更改头指针，删除其他节点时不需要。
D. 不带头结点的线性连表删除第一个结点时候，不需要更改头指针
错误。这与事实正好相反。在不带头结点的链表中，删除第一个节点是唯一一种必须更改头指针的情况。
4.最终答案：A
例题2
1、理解基本概念：线性表、顺序存储结构、链式存储结构
线性表 (Linear List) 是由 n (n≥0) 个具有相同类型的数据元素组成的有限序列。这个序列中的元素之间存在一种一对一的线性关系。通常，一个线性表可以记为：L = (a₁, a₂, ..., aᵢ, ..., aₙ)。
一对一关系：除表头和表尾元素外，表中的每一个元素 aᵢ (1 < i < n) 都有且仅有一个直接前驱 aᵢ₋₁ 和一个直接后继 aᵢ₊₁。
顺序存储结构 (顺序表)：顺序存储结构是实现线性表的一种方式，也是最直观的一种。它指的是用一段地址连续的存储单元依次存储线性表中的数据元素。简单来说，就是把线性表中的元素，按照它们的逻辑顺序，原封不动地存放到计算机内存里一块连续的空间中。在编程语言中，数组 (Array) 就是顺序存储结构最典型的实现。
优点：可以随机访问。因为地址是连续的，所以只要知道第一个元素的地址和每个元素占用的空间大小，就可以通过简单的数学公式 地址 = 首地址 + 索引 * 元素大小 快速定位到任何一个元素，访问速度非常快（时间复杂度为 O(1)）。
缺点：插入和删除操作比较麻烦。因为要保持存储空间的连续性，插入或删除一个元素后，往往需要移动大量后续元素。
链式存储结构 (链表)：元素（我们称之为“节点”）可以散落在内存的任何地方。之所以它们还能构成一个“表”，是因为每个节点内部除了存放数据本身（数据域）之外，还存放了一个指向下一个节点内存地址的“线索”（指针域）。这根“线”就维系了数据之间的逻辑关系。
优点：插入和删除操作快，要删除一个节点，我们不需要移动任何其他节点，只需要修改它前面那个节点的“线”（指针），让它指向被删除节点的下一个节点即可，操作非常高效。空间大小灵活，链表不需要预先分配空间，可以在需要时随时申请内存来创建新节点，并将其链入表中，非常灵活。
缺点：访问速度慢，因为节点在内存中是分散的，我们无法通过计算直接找到第 i 个元素。要想访问第 i 个元素，必须从第一个元素开始，顺着“线”（指针）一个一个地往后找，直到找到目标位置。这被称为“顺序访问”，时间复杂度是 O(n)。额外的存储开销，每个节点除了存储数据，还需要额外一个空间来存储指针，所以存储密度不如顺序表高。
2. 问题分析与计算
当我们从一个数组中删除一个元素时，为了保持数组的连续性（中间不能有空洞），我们必须将该元素之后的所有元素都向前移动一个位置。
除第 1 个元素 (索引为 0)：它后面的 n-1 个元素（从第 2 个到第 n 个）都需要向前移动。移动次数为 n-1。
删除第 2 个元素 (索引为 1)：它后面的 n-2 个元素（从第 3 个到第 n 个）都需要向前移动。移动次数为 n-2。
删除第 i 个元素：它后面的 n-i 个元素都需要向前移动。移动次数为 n-i。
...
删除第 n-1 个元素：它后面的 1 个元素（即第 n 个元素）需要向前移动。移动次数为 1。
删除第 n 个元素 (最后一个)：它后面没有元素了，所以不需要移动任何元素。移动次数为 0。
计算平均移动次数：
题目提到“等概率前提下”，这意味着删除任何一个位置的元素的可能性都是相同的，即 1/n。平均移动次数就是所有可能情况的移动次数之和，再除以情况的总数 (n)。
总移动次数 = (删除第1个的移动次数) + (删除第2个的移动次数) + ... + (删除第n个的移动次数)
总移动次数 = (n-1) + (n-2) + ... + 1 + 0
这是一个从 0 到 n-1 的等差数列求和，其结果为：
总移动次数 = (0 + n-1) * n / 2 = n * (n-1) / 2平均移动次数 = 总移动次数 / 元素总数 n
平均移动次数 = [n * (n-1) / 2] / n
平均移动次数 = (n-1) / 2