【考研408数据结构-06】 树与二叉树（上）：遍历算法全解析

📚 【考研408数据结构-06】 树与二叉树（上）：遍历算法全解析

🎯 考频：⭐⭐⭐⭐⭐ | 题型：选择题、综合应用题、算法设计题 | 分值：约10-18分

引言

想象你正在整理家谱，从祖父母开始，一代代向下延伸，每个人都可能有多个子女——这就是树形结构最直观的体现。而如果限制每个人最多只能有两个孩子，这就成了计算机科学中最重要的数据结构之一：二叉树（Binary Tree）。

在408考试中，二叉树是绝对的重中之重，近5年真题中平均每年出现3-4道相关题目，尤其是遍历算法和根据遍历序列构造二叉树，几乎年年必考。掌握二叉树，就掌握了数据结构的半壁江山。

本文将带你深入理解二叉树的本质，掌握四种遍历方式的递归与非递归实现，攻克408考试中的遍历算法难题。

学完本文，你将能够：

1. ✅ 深刻理解二叉树的五大性质
2. ✅ 熟练编写四种遍历的递归与非递归代码
3. ✅ 快速根据遍历序列构造二叉树
4. ✅ 掌握线索二叉树的精髓

一、知识精讲

1.1 概念定义

二叉树的定义

**二叉树（Binary Tree）**是n(n≥0)个结点的有限集合，该集合或者为空集（空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

💡 关键特征：

• 每个结点最多有两个孩子（可以是0、1或2个）
• 左右子树是有序的，不能互换
• 即使只有一个孩子，也要区分是左孩子还是右孩子

408考纲要求：⭐ 掌握

特殊二叉树

1. 满二叉树：所有分支结点都有左右子树，且所有叶子都在同一层
2. 完全二叉树：最后一层的结点都集中在左侧连续位置
3. 二叉排序树：左子树值 < 根 < 右子树值
4. 平衡二叉树：任意结点的左右子树高度差不超过1

⚠️ 易混淆点：完全二叉树一定是满二叉树吗？不是！满二叉树一定是完全二叉树。

1.2 原理分析

二叉树的五大性质（408必背）

性质	内容	重要程度
性质1	第i层最多有$2^{i-1}$个结点 (i≥1)	⭐⭐⭐⭐⭐
性质2	深度为k的二叉树最多有$2^k-1$个结点	⭐⭐⭐⭐⭐
性质3	n个结点的完全二叉树深度为$\lfloor {\log }_{2}n\rfloor +1$	⭐⭐⭐⭐⭐
性质4	任何二叉树，$n_0=n_2+1$（叶子数=度为2的结点数+1）	⭐⭐⭐⭐⭐
性质5	完全二叉树结点编号规律：左孩子2i，右孩子2i+1	⭐⭐⭐⭐

四种遍历方式的本质

遍历就是按某种次序访问树中的每个结点恰好一次。根据访问根结点的时机不同，分为：

1. 先序遍历（PreOrder）：根→左→右
2. 中序遍历（InOrder）：左→根→右
3. 后序遍历（PostOrder）：左→右→根
4. 层序遍历（LevelOrder）：按层次从上到下、从左到右

🎯 核心理解：前三种是深度优先（DFS），层序是广度优先（BFS）

1.3 性质与特点

存储结构对比

存储方式	适用场景	优点	缺点
顺序存储	完全二叉树	结点关系计算简单	非完全二叉树浪费空间
链式存储	一般二叉树	灵活，空间利用率高	需要额外指针空间

遍历算法复杂度

遍历方式	时间复杂度	空间复杂度（递归）	空间复杂度（非递归）
先序遍历	O(n)	O(h)	O(h)
中序遍历	O(n)	O(h)	O(h)
后序遍历	O(n)	O(h)	O(h)
层序遍历	O(n)	-	O(w)

其中：h为树高，w为树的最大宽度

二、代码实现

2.1 二叉树的结构定义与基本操作

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>// 二叉树结点的定义
typedef struct BiTNode {int data;                    // 数据域struct BiTNode *lchild;      // 左孩子指针struct BiTNode *rchild;      // 右孩子指针
} BiTNode, *BiTree;// 创建新结点
BiTNode* CreateNode(int data) {BiTNode *node = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));if (node != NULL) {node->data = data;node->lchild = NULL;node->rchild = NULL;}return node;
}

2.2 四种遍历的递归实现

// 先序遍历（递归）- 时间O(n)，空间O(h)
void PreOrder(BiTree T) {if (T != NULL) {printf("%d ", T->data);    // 访问根结点PreOrder(T->lchild);        // 递归遍历左子树PreOrder(T->rchild);        // 递归遍历右子树}
}// 中序遍历（递归）- 时间O(n)，空间O(h)
void InOrder(BiTree T) {if (T != NULL) {InOrder(T->lchild);         // 递归遍历左子树printf("%d ", T->data);     // 访问根结点InOrder(T->rchild);         // 递归遍历右子树}
}// 后序遍历（递归）- 时间O(n)，空间O(h)
void PostOrder(BiTree T) {if (T != NULL) {PostOrder(T->lchild);       // 递归遍历左子树PostOrder(T->rchild);       // 递归遍历右子树printf("%d ", T->data);     // 访问根结点}
}

2.3 非递归遍历实现（408高频考点）

#define MAXSIZE 100// 栈的简单实现（用于非递归遍历）
typedef struct {BiTNode* data[MAXSIZE];int top;
} SqStack;// 中序遍历（非递归）- 最重要！408必考
void InOrderNonRecursive(BiTree T) {SqStack S;S.top = -1;  // 初始化栈BiTNode *p = T;while (p != NULL || S.top != -1) {if (p != NULL) {// 一路向左，沿途结点入栈S.data[++S.top] = p;    p = p->lchild;} else {// 左子树访问完毕，弹出栈顶并访问p = S.data[S.top--];printf("%d ", p->data);// 转向右子树p = p->rchild;}}
}// 层序遍历 - 使用队列实现
void LevelOrder(BiTree T) {if (T == NULL) return;BiTNode* queue[MAXSIZE];int front = 0, rear = 0;queue[rear++] = T;  // 根结点入队while (front < rear) {BiTNode *p = queue[front++];  // 出队printf("%d ", p->data);       // 访问// 左右孩子依次入队if (p->lchild != NULL) queue[rear++] = p->lchild;if (p->rchild != NULL) queue[rear++] = p->rchild;}
}

2.4 根据遍历序列构造二叉树（408必考算法）

// 根据先序和中序序列构造二叉树
// pre[]为先序序列，in[]为中序序列，n为结点数
BiTree BuildTree(int pre[], int in[], int n) {if (n <= 0) return NULL;// 先序第一个元素是根BiTNode *root = CreateNode(pre[0]);// 在中序中找到根的位置int i;for (i = 0; i < n; i++) {if (in[i] == pre[0]) break;}// 递归构造左右子树// 左子树：先序[1...i]，中序[0...i-1]root->lchild = BuildTree(pre + 1, in, i);// 右子树：先序[i+1...n-1]，中序[i+1...n-1]root->rchild = BuildTree(pre + i + 1, in + i + 1, n - i - 1);return root;
}

三、图解说明

【图1】四种遍历方式对比

示例二叉树：1/ \2   3/ \4   5遍历顺序演示：
先序（根左右）：1 → 2 → 4 → 5 → 3
中序（左根右）：4 → 2 → 5 → 1 → 3
后序（左右根）：4 → 5 → 2 → 3 → 1
层序（逐层）  ：1 → 2 → 3 → 4 → 5

【图2】中序非递归遍历执行过程

步骤1：初始化，p指向根1
栈：[ ]  输出：步骤2：1入栈，p指向2
栈：[1]  输出：步骤3：2入栈，p指向4
栈：[1,2]  输出：步骤4：4入栈，p指向NULL
栈：[1,2,4]  输出：步骤5：4出栈并访问，p指向NULL
栈：[1,2]  输出：4步骤6：2出栈并访问，p指向5
栈：[1]  输出：4 2步骤7：5入栈，p指向NULL
栈：[1,5]  输出：4 2步骤8：5出栈并访问，p指向NULL
栈：[1]  输出：4 2 5步骤9：1出栈并访问，p指向3
栈：[ ]  输出：4 2 5 1步骤10：3入栈并最终访问
栈：[ ]  输出：4 2 5 1 3

【图3】根据遍历序列构造二叉树

已知：先序 ABDEC，中序 DBEAC
构造过程：Step 1: A是根（先序首元素）A/ \左子树 右子树DBE    CStep 2: 递归处理左子树先序：BDE，中序：DBEB是根，D在左，E在右A/B/ \D   EStep 3: 递归处理右子树先序：C，中序：CA/ \B   C/ \D   E

四、真题演练

【2023年408真题】

题目：一棵非空的二叉树的先序遍历序列与后序遍历序列正好相反，则该二叉树一定满足什么条件？

解题思路：

1. 先序：根→左→右
2. 后序：左→右→根
3. 若先序与后序相反，说明结构特殊
4. 分析：只有当二叉树每层只有一个结点时才满足

答案：该二叉树的所有非叶结点都只有一个孩子（即为一条链）

⚠️ 易错点：容易误认为是满二叉树或完全二叉树

【2022年408真题·改编】

题目：已知一棵二叉树的中序遍历序列为DGBAECF，后序遍历序列为GDBEFCA，求先序遍历序列。

解题思路：

1. 后序最后一个是根：A
2. 中序中A的位置：DGB|A|ECF
3. 左子树：中序DGB，后序GDB → B是根
4. 右子树：中序ECF，后序EFC → C是根
5. 递归处理得完整结构

答案：先序遍历序列为ABDGCEF

举一反三：如果只给出先序和后序，能唯一确定二叉树吗？不能！除非是满二叉树。

【经典考点】

题目：n个不同元素进栈，可能的出栈序列有多少种？

答案：卡特兰数 $C_n=\frac{1}{n+1}{C}_{2n}^n$

这与二叉树的关系：n个结点的不同形态二叉树数目也是卡特兰数！

五、在线练习推荐

LeetCode精选题目

• 🟢 Easy: 144. 二叉树的前序遍历
• 🟢 Easy: 94. 二叉树的中序遍历（重点练习非递归）
• 🟡 Medium: 105. 从前序与中序遍历序列构造二叉树（408必做）
• 🟡 Medium: 102. 二叉树的层序遍历

练习顺序建议

1. 先掌握四种递归遍历
2. 重点突破中序非递归
3. 练习根据序列构造二叉树
4. 综合应用：遍历的各种变形题

推荐在牛客网完成"408二叉树专项"，共40道精选题。

六、思维导图

树与二叉树：遍历算法全解析
├── 基础概念
│   ├── 二叉树定义
│   │   ├── 递归定义
│   │   └── 左右子树有序
│   ├── 特殊二叉树
│   │   ├── 满二叉树
│   │   ├── 完全二叉树⭐
│   │   └── 二叉排序树
│   └── 五大性质⭐⭐⭐
│       ├── 第i层最多2^(i-1)个
│       └── n0 = n2 + 1
├── 存储结构
│   ├── 顺序存储
│   │   └── 适合完全二叉树
│   └── 链式存储
│       └── 二叉链表
├── 遍历算法⭐⭐⭐⭐⭐
│   ├── DFS遍历
│   │   ├── 先序（根左右）
│   │   ├── 中序（左根右）
│   │   └── 后序（左右根）
│   ├── BFS遍历
│   │   └── 层序遍历
│   └── 实现方式
│       ├── 递归实现
│       └── 非递归实现⭐
└── 应用├── 构造二叉树⭐⭐⭐├── 表达式树└── 线索二叉树

七、复习清单

✅ 本章必背知识点清单

概念理解

• 能准确说出二叉树与树的区别
• 理解满二叉树与完全二叉树的区别
• 掌握二叉树的五大性质
• 记住完全二叉树的编号规律

代码实现

• 能手写四种遍历的递归代码
• 能手写中序遍历的非递归代码⭐
• 能手写层序遍历代码
• 掌握根据两种序列构造二叉树
• 时间复杂度均为 O(n)
• 空间复杂度为 O(h)或O(w)

应用能力

• 会根据遍历序列画出二叉树
• 能判断给定序列是否为某种遍历
• 掌握遍历序列的唯一性条件
• 理解卡特兰数与二叉树的关系

真题要点

• 记住：中序+先序/后序可唯一确定二叉树
• 掌握非递归遍历的栈操作顺序
• 理解线索二叉树的作用
• 记住常见陷阱：先序+后序不能唯一确定

八、知识拓展

工程实践中的应用

1. 编译器：语法树的构建与遍历
2. 数据库：B+树的遍历实现索引扫描
3. 人工智能：决策树的构建与剪枝
4. 游戏开发：场景图的渲染顺序控制

常见误区

⚠️ 误区1：认为二叉树就是度为2的树

• 正解：二叉树的结点度可以是0、1或2

⚠️ 误区2：混淆遍历的访问顺序

• 正解：先中后指的是根的访问时机，不是方向

⚠️ 误区3：认为只有递归才能实现遍历

• 正解：所有递归都可以用栈改写为非递归

⚠️ 误区4：忽视空树的处理

• 正解：空树是合法的二叉树，代码要处理NULL

记忆技巧

🎵 遍历口诀：

• “先序根在前，中序根在中，后序根在后”
• “层序队列做，递归栈中走”
• “中序加一序，二叉树唯一”

自测题

1. 一棵有n个结点的完全二叉树，其叶子结点数为？

   • A. ⌊n/2⌋
   • B. ⌈n/2⌉
   • C. ⌊(n+1)/2⌋
   • D. ⌈(n+1)/2⌉

2. 中序遍历二叉排序树得到的序列是？

   • A. 递增序列
   • B. 递减序列
   • C. 无序序列
   • D. 先增后减

3. 已知二叉树的先序序列和后序序列，能唯一确定这棵二叉树吗？

   • A. 一定能
   • B. 一定不能
   • C. 当为满二叉树时能
   • D. 当为完全二叉树时能

答案：1.B 2.A 3.C

结语

二叉树的遍历是数据结构的核心基础，它不仅是408考试的必考重点，更是理解高级树形结构（BST、AVL、B树等）的基石。本文从基础概念到代码实现，从递归到非递归，全面解析了二叉树遍历的精髓。

核心要点回顾：

1. 🎯 二叉树的五大性质是解题的数学基础
2. 🎯 四种遍历方式各有特点和应用场景
3. 🎯 非递归遍历是理解栈应用的绝佳案例
4. 🎯 根据遍历序列构造二叉树是408的高频考点
5. 🎯 中序+另一序列可唯一确定二叉树

遍历是手段，应用是目的。下一篇文章，我们将深入探讨**《树与二叉树（下）：特殊树结构与应用》**，学习二叉排序树、平衡二叉树、哈夫曼树等高级内容，这些都是在遍历基础上的深化与应用。

💪 学习建议：二叉树的遍历看似简单，但变化无穷。建议你不仅要会写代码，更要理解其背后的递归思想和栈的应用。特别是非递归遍历，一定要自己动手画图模拟执行过程。记住，树形思维是算法进阶的关键！

相信自己，408高分就在前方！🎯