基礎複分析習題6.級數與乘積展開

### 1. 題目 對\(\log(1 + z/n)\)的一個解析單值分支應用Taylor定理，證明\(\lim_{n \to \infty}(1 + \frac{z}{n})^{n}=e^{z}\)在所有緊集上是一致的。

### 解析

**Taylor展開**：\(\log(1 + w)\)的Taylor展開式為\(\log(1 + w)=\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{k + 1}}{k}w^{k}\)，其收斂域為\(|w| < 1\)。令\(w = \frac{z}{n}\)，則\(\log(1 + \frac{z}{n})=\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{k + 1}}{k}(\frac{z}{n})^{k}\) ，在\(|\frac{z}{n}|<1\)即\(|z| < n\)時成立。

**指數函數轉換**：因為\((1 + \frac{z}{n})^{n}=e^{n\log(1+\frac{z}{n})}\) ，將\(\log(1 + \frac{z}{n})\)的Taylor展開式代入可得\(n\log(1 + \frac{z}{n})=n\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{k + 1}}{k}(\frac{z}{n})^{k}=z-\frac{z^{2}}{2n}+\frac{z^{3}}{3n^{2}}-\cdots\) 。當\(n\to\infty\)時，\(\lim_{n\to\infty}n\log(1 + \frac{z}{n}) = z\) ，所以\(\lim_{n\to\infty}(1 + \frac{z}{n})^{n}=\lim_{n\to\infty}e^{n\log(1+\frac{z}{n})}=e^{z}\) 。

**緊集上的一致性**：設\(K\)是\(\mathbb{C}\)中的緊集，存在\(M>0\) ，使得對所有\(z\in K\) ，有\(|z|\leq M\) 。\(\log(1 + \frac{z}{n})\)泰勒展開的餘項\(R_{N}(z)=n\sum_{k = N + 1}^{\infty}\frac{(-1)^{k + 1}}{k}(\frac{z}{n})^{k}\) ，利用絕對值不等式\(\left|R_{N}(z)\right|\leq n\sum_{k = N + 1}^{\infty}\frac{|z|^{k}}{k n^{k}}\) ，在\(K\)上\(\left|R_{N}(z)\right|\leq n\sum_{k = N + 1}^{\infty}\frac{M^{k}}{k n^{k}}\) 。當\(n\to\infty\)時，\(\lim_{n\to\infty}\left|R_{N}(z)\right| = 0\) ，且與\(z\in K\)無關，所以\(\lim_{n\to\infty}(1 + \frac{z}{n})^{n}=e^{z}\)在所有緊集上是一致的。

### 2. 題目 證明級數\(\zeta(z)=\sum_{n = 1}^{\infty}n^{-z}\)在\(\text{Re} z>1\)時收斂，並將其導數表示為級數形式。 ### 解析

**收斂性證明**：考慮\(\sum_{n = 1}^{\infty}|n^{-z}|=\sum_{n = 1}^{\infty}n^{-\text{Re}(z)}\) ，這是一個\(p -\)級數。當\(\text{Re}(z)>1\)時，\(p = \text{Re}(z)>1\) ，根據\(p -\)級數的性質，\(\sum_{n = 1}^{\infty}n^{-\text{Re}(z)}\)收斂，所以\(\zeta(z)=\sum_{n = 1}^{\infty}n^{-z}\)在\(\text{Re}(z)>1\)時絕對收斂，從而收斂。<