机器学习数学基础：31.Z检验

Z检验全面教程

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一、核心概念与适用条件

1. 定义与原理

Z检验是基于标准正态分布的假设检验方法，用于判断样本均值与总体均值（或两样本均值）的差异是否具有统计学意义。其核心是通过计算Z值（标准分），量化观测数据与原假设之间的偏离程度。

2. 适用场景

• 单样本Z检验：验证样本均值是否等于已知总体均值（需已知总体标准差）
• 双样本Z检验：比较两个独立大样本的均值差异（需已知或可估计总体标准差）
• 比率Z检验：检验比例或概率差异（如转化率、治愈率等）

3. 必要条件

• 样本量 ≥30（大样本中心极限定理保障）
• 总体服从正态分布（或样本量足够大）
• 总体标准差已知/可估计

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二、假设检验四步法

步骤1：建立假设

• 原假设（H₀）：无显著差异（如 μ=μ₀ 或 μ₁=μ₂）
• 备择假设（H₁）：存在显著差异（如 μ≠μ₀ 或 μ₁≠μ₂）

步骤2：计算Z统计量

单样本检验公式：
$$Z=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$$
其中 $\bar{X}$为样本均值，${\mu }_0$为总体均值，$\sigma$为总体标准差，n为样本量

双样本检验公式：
$$Z=\frac{({\bar{X}}_1-{\bar{X}}_2)}{\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}}}$$
${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$为两总体方差

步骤3：确定临界值

查Z表获取临界值（常用α=0.05对应±1.96）

步骤4：决策与结论

• |Z计算| > |Z临界| → 拒绝H₀
• P值 < α → 拒绝H₀

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三、经典案例解析

案例1：单样本Z检验（零件检测）

场景：某螺栓标准长度为120mm，已知总体标准差σ=5mm。质检员抽检50个产品，测得平均长度121.5mm，判断产品是否合格。

计算过程：

1. 设H₀: μ=120；H₁: μ≠120（α=0.05）
2. 代入公式：
   $$Z=\frac{121.5-120}{5/\sqrt{50}}=\frac{1.5}{0.707}=2.12$$
3. 对比临界值：|2.12| >1.96
4. 结论：拒绝H₀，产品长度显著偏离标准

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案例2：双样本Z检验（药物疗效）

场景：比较新旧降压药效果，旧药组n₁=45，${\bar{X}}_1$=18mmHg，σ₁=4；新药组n₂=40，${\bar{X}}_2$=15mmHg，σ₂=3.5。检验疗效差异（α=0.01）

计算过程：

1. 设H₀: μ₁=μ₂；H₁: μ₁≠μ₂
2. 计算Z值：
   $$Z=\frac{18-15}{\sqrt{\frac{4^2}{45}+\frac{3.5^2}{40}}}=\frac{3}{\sqrt{0.356+0.306}}=\frac{3}{0.814}=3.68$$
3. 查临界值（α=0.01）：±2.58
4. 结论：|3.68|>2.58，拒绝H₀，新药效果显著更优

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案例3：比率Z检验（临床试验）

场景：试验组105人中76人症状缓解，对照组111人中49人缓解，比较缓解率差异（α=0.05）

计算过程：

1. 设H₀: p₁=p₂；H₁: p₁≠p₂
2. 计算合并率：
   $$\hat{p}=\frac{76+49}{105+111}=\frac{125}{216}=0.5787$$
3. 计算标准误：
   $$SE=\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(\frac{1}{105}+\frac{1}{111})}=\sqrt{0.5787\times 0.4213\times 0.0187}=0.0675$$
4. 计算Z值：
   $$Z=\frac{0.7238-0.4414}{0.0675}=4.18$$
5. 对比临界值1.96，结论：拒绝H₀，缓解率差异显著

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四、注意事项

1. 小样本优先使用t检验
2. 比率检验需满足np>5且n(1-p)>5
3. 双样本检验要求数据独立性
4. 单侧检验需调整假设方向与临界值

本教程完整呈现Z检验的理论框架与实操流程，通过三大经典案例演示不同场景下的计算逻辑，可作为统计分析的标准参考指南。