动态规划法 - 53. 最大子数组和
什么是动态规划法？
简单说，动态规划（Dynamic Programming，简称 DP） 是一种**「把复杂问题拆解成小问题，通过解决小问题来解决大问题」**的方法。
核心思路有两个：
1.拆分问题：把原问题拆成多个相似的「子问题」（比如求 “整个数组的最大子数组和” 可以拆 成 “以每个元素结尾的最大子数组和”）。
2.记住答案：用一个表格（或变量）记录子问题的答案，避免重复计算（这一步叫「记忆化」）。
用动态规划解决 “最大子数组和” 的标准思路
以 nums = [-2, 1, -3, 4] 为例：
1.定义子问题：设 dp[i] 为「以第 i 个元素结尾的最大子数组和」。
- 比如 dp[0] 是 “以 -2 结尾的最大和” → 只能是 -2。
- dp[1] 是 “以 1 结尾的最大和” → 要么单独用 1，要么用 dp[0] + 1（即 -2 + 1 = -1），取大的那个 → 1。
2.找规律（状态转移方程）：dp[i] = max(nums[i], dp[i-1] + nums[i])（要么从当前元素重新开始，要么接上前面的子数组）
3.计算所有子问题：
- dp[0] = -2
- dp[1] = max(1, -2+1) = 1
- dp[2] = max(-3, 1-3) = -2
- dp[3] = max(4, -2+4) = 4
4.求最终答案：所有 dp[i] 中的最大值 → 4。
我们现在用的方法，其实是动态规划的 “升级版”
上面的标准思路需要一个 dp 数组来存所有子问题的答案（空间复杂度 O(n)），但我们可以优化：
观察发现：计算 dp[i] 只需要前一个 dp[i-1] 的值，不需要整个数组。
所以可以用一个变量 sum 代替 dp 数组（sum 就代表当前的 dp[i]），这样空间复杂度就降到了 O(1)。
这就是我们现在用的方法：
- sum 等价于 dp[i]（当前子问题的答案）。
- sum = max(nums[i], sum + nums[i]) 就是状态转移方程。
- res 用来记录所有 sum 中的最大值（即最终答案）。
总结
- 标准动态规划：用数组存所有子问题答案，思路直观，空间稍大。
- 我们现在的方法：用单个变量代替数组，核心逻辑不变，是动态规划的「空间优化版」。
题目
https://leetcode.cn/problems/maximum-subarray/description/?envType=study-plan-v2&envId=top-100-liked
给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。 子数组是数组中的一个连续部分。
示例 1： 输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]输出：6解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为
6 。 示例 2： 输入：nums = [1]输出：1 示例 3： 输入：nums = [5,4,-1,7,8]输出：23
题解
class Solution {public int maxSubArray(int[] nums) {// 把sum初始化为数组第一个元素int sum = nums[0];// 结果也初始化为第一个元素（因为最大和至少是它自己）int res = nums[0];// 从第二个元素开始遍历（索引1）for (int i = 1; i < nums.length; i++) {// 同样先判断：之前的sum是否有用if (sum > 0) {// 有用就累加当前元素sum += nums[i];} else {// 没用就从当前元素重新开始sum = nums[i];}// 更新最大和res = Math.max(res, sum);}return res;}
}
过程解读（结合 “攒钱” 例子）
- 初始状态：手里先拿着第一天的钱 sum=-1（亏了 1 块），历史最多钱 res=-1。
- 第二天（元素 2）：之前手里是亏的（sum=-1），不如直接拿今天的 2 块，sum 变成 2。历史最多钱更新为 2。
- 第三天（元素 - 3）：手里有 2 块（正数），虽然今天花了 3 块，但还是加上试试，sum=2-3=-1。历史最多钱还是 2（因为 - 1 < 2）。
- 第四天（元素 4）：手里是 - 1（亏的），直接拿今天的 4 块，sum 变成 4。历史最多钱更新为 4。
- 第五天（元素 - 1）：手里有 4 块（正数），今天花 1 块，加上后 sum=4-1=3。历史最多钱还是 4（因为 3 < 4）。
最终结果是 4，对应最大子数组 [4]（或者理解为 “只拿第四天的钱最划算”）。