学习一下B树和B+树

学习一下B树和B+树

前言

​ 抱歉这里鸽了5天，笔者最近忙于秋招找工作，连一些项目都被暂时的搁置了。这里笔者再干一个需要手搓B+树的题目中遇到了，虽然知道这个题大致需要使用B+树解决问题，但是发现自己好像对B/B+树实际上不够熟悉，这里笔者整理一下笔记放到下面，供各位参考和批评。

可以在哪里看到他们呢？

​ 在数据库和文件系统中，B树（Balanced Tree）和B+树是核心的数据结构。它们通过多路平衡搜索，提供高效的查找、插入和范围查询能力。换而言之，在比较注重关系类型的查询的时候，我们很容易联想到使用B/B+树来进行关系的构建。

​ 以文件系统为例子，我们可以非常自然的想到，我们的目录节点是一个非叶子节点（我指代的是下面还有孩子节点，对于二叉树，这个个数非常固定的就是2，这个无可厚非），下面存储若干的子节点（也不一定是叶子节点），所以我们的节点立马也就变成了这样的结构：

    struct Node {bool isLeaf;std::vector<T> keys;	// T是一个给定的类型 std::vector<Node*> children;Node* next;Node(bool leaf) : isLeaf(leaf), next(nullptr) {}};

​ 因此，在一个存在层次（使用目录的）的文件系统中，我们实际上就是查找由Node构成的B（+）树的结构。

[charliechen@Charliechen CChatRoom]$ tree .
.
├── client
│   ├── client_loader.cpp
│   └── CMakeLists.txt
├── CMakeLists.txt
├── library
│   ├── CMakeLists.txt
│   ├── simple_logger
│   │   ├── simple_logger.cpp
│   │   └── simple_logger.h
│   └── sockets_operation
│       ├── passive_client_socket.hpp
│       ├── socket_error.hpp
│       ├── sockets_common.hpp
│       ├── sockets_driver_impl.h
│       ├── sockets_driver_impl_linux.cpp
│       ├── sockets_driver_impl_linux.h
│       ├── sockets_operation.cpp
│       └── sockets_operation.h
├── server
│   └── CMakeLists.txt
└── test├── CMakeLists.txt├── test_client.cpp└── test_sockets.cpp

​ B树（B+树）这样的数据结构。下面我们来看看概念。

B树（Balanced Tree）

B树是一种多路平衡搜索树，用于在磁盘或内存中高效存储大量数据。它保证树的高度为对数级别，因此查找、插入、删除操作的时间复杂度均为 $O(\log n)$。

​ 我们要求，一个B树的特点必须是：

1. 多路节点：一个节点可以有多个子节点，而不仅限于二叉。
2. 关键字有序：节点内关键字按升序排列。
3. 所有叶子节点在同一层：保证平衡。
4. 节点关键字和子树数约束：
   • 阶数 M 的 B 树，每个节点关键字数在 $[\lceil M/2\rceil -1,M-1]$。这样的约束是为了保证
   • 子树数在 $[\lceil M/2\rceil ,M]$。
5. 查找过程：
   • 在节点关键字中查找目标值或确定进入哪颗子树。
   • 递归查找，直到叶子节点或找到目标。

几个经典的操作

• 查找：类似二分查找，沿着多路节点向下查找。
• 插入：
  • 找到合适叶子节点。
  • 插入关键字。
  • 节点满时分裂，可能递归向上分裂。
• 删除：
  • 删除关键字。
  • 节点关键字数不足时，向兄弟节点借或合并。

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B+树

特点

​ B+树实际上就是B树的一点改进，由于非叶子节点不存储信息，直接查叶子节点就好了。

1. 非叶子节点只存索引：不存储具体数据，节省空间。
2. 叶子节点存储所有数据：并按照关键字顺序形成链表。
3. 查找路径固定：所有查找操作最终都在叶子节点完成。
4. 范围查询高效：叶子链表支持顺序扫描，方便扫描范围数据。
5. 多路平衡：和B树类似，保持高度平衡。

特性	B树	B+树
数据存储位置	非叶子节点 + 叶子节点	仅叶子节点
非叶子节点	存索引和数据	仅存索引
叶子节点	无链表	叶子链表支持顺序遍历
查找路径	命中可提前结束	必须到叶子节点
范围查询	中序遍历	叶子链表顺序扫描
磁盘IO	查找路径短	内部节点更小，扇出大，总体IO少
应用场景	小型索引	数据库索引、文件系统

​ 一个潜在的模板代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>template <typename T, int M = 4>
class BPlusTree {struct Node {bool isLeaf;std::vector<T> keys;std::vector<Node*> children;Node* next;Node(bool leaf) : isLeaf(leaf), next(nullptr) {}};Node* root;std::pair<T, Node*> split(Node* node) {int mid = node->keys.size() / 2;Node* right = new Node(node->isLeaf);right->keys.assign(node->keys.begin() + mid, node->keys.end());node->keys.resize(mid);if (!node->isLeaf) {right->children.assign(node->children.begin() + mid + 1, node->children.end());node->children.resize(mid + 1);}if (node->isLeaf) {right->next = node->next;node->next = right;}return { right->keys[0], right };}std::pair<T, Node*> insert(Node* node, const T& key) {if (node->isLeaf) {auto it = std::upper_bound(node->keys.begin(), node->keys.end(), key);node->keys.insert(it, key);} else {int i = 0;while (i < node->keys.size() && key >= node->keys[i]) i++;auto ret = insert(node->children[i], key);if (ret.second) {node->keys.insert(node->keys.begin() + i, ret.first);node->children.insert(node->children.begin() + i + 1, ret.second);}}if (node->keys.size() >= M) return split(node);return { T(), nullptr };}public:BPlusTree() { root = new Node(true); }void insert(const T& key) {auto ret = insert(root, key);if (ret.second) {Node* newRoot = new Node(false);newRoot->keys.push_back(ret.first);newRoot->children.push_back(root);newRoot->children.push_back(ret.second);root = newRoot;}}bool search(const T& key) {Node* cur = root;while (!cur->isLeaf) {int i = 0;while (i < cur->keys.size() && key >= cur->keys[i]) i++;cur = cur->children[i];}return std::find(cur->keys.begin(), cur->keys.end(), key) != cur->keys.end();}void printAll() {Node* cur = root;while (!cur->isLeaf) cur = cur->children[0];while (cur) {for (auto k : cur->keys) std::cout << k << " ";cur = cur->next;}std::cout << std::endl;}
};int main() {BPlusTree<int,4> tree;for(int x: {10,20,5,15,25,30,1}) tree.insert(x);std::cout << "查找15: " << tree.search(15) << std::endl;std::cout << "查找7: " << tree.search(7) << std::endl;std::cout << "顺序遍历: ";tree.printAll();
}