【LeetCode 热题 100】118. 杨辉三角
Problem: 118. 杨辉三角
文章目录
- 整体思路
- 完整代码
- 时空复杂度
- 时间复杂度：O(numRows^2)
- 空间复杂度：O(numRows^2)
整体思路
这段代码旨在解决一个经典的数学与编程问题：生成杨辉三角 (Pascal’s Triangle)。问题要求根据给定的行数 numRows，生成一个表示杨辉三角的嵌套列表。
该算法采用了一种 逐行模拟（或称动态规划） 的方法。它利用了杨辉三角的一个核心性质：每一行的每个数（除了两边的1）都等于它正上方和左上方两个数之和。算法的逻辑是，通过迭代，一行一行地构建出整个三角形。
其核心逻辑步骤如下：
-
初始化：
- 创建一个嵌套列表
ans作为最终的结果容器。 - 处理 基础情况 (Base Case)：杨辉三角的第一行总是
[1]。算法首先将这一行硬编码并添加到ans中。如果numRows为1，后续的循环就不会执行，直接返回这个基础结果。
- 创建一个嵌套列表
-
逐行生成：
- 算法使用一个
for循环，从第二行（索引r = 1）开始，一直迭代到numRows - 1，以生成后续的每一行。 - 在每次循环中，它都会创建一个新的列表
curRow来表示当前正在构建的行。
- 算法使用一个
-
构建当前行 (
curRow)：- 两边的 ‘1’：根据杨辉三角的定义，每一行的第一个和最后一个元素永远是 1。算法首先在
curRow的开头添加一个 1。 - 计算中间元素：接着，一个内层
for循环负责计算位于两个 ‘1’ 之间的所有元素。- 这个循环利用了前一行（即
ans.get(r - 1)）已经计算好的结果。 - 对于当前行 (
r) 的第i个位置，其值等于上一行 (r-1) 的第i-1个位置和第i个位置的元素之和。即curRow[i] = prevRow[i-1] + prevRow[i]。
- 这个循环利用了前一行（即
- 在计算完所有中间元素后，算法在
curRow的末尾再添加一个 1。
- 两边的 ‘1’：根据杨辉三角的定义，每一行的第一个和最后一个元素永远是 1。算法首先在
-
添加到结果集：
- 当
curRow被完整构建后，它就被添加到最终的结果列表ans中。 - 外层循环继续，直到所有
numRows行都被生成。
- 当
-
返回结果：
- 最后，返回包含整个杨辉三角的嵌套列表
ans。
- 最后，返回包含整个杨辉三角的嵌套列表
完整代码
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;class Solution {/*** 生成杨辉三角的前 numRows 行。* @param numRows 要生成的行数* @return 一个表示杨辉三角的嵌套列表*/public List<List<Integer>> generate(int numRows) {// ans: 用于存储最终的杨辉三角结果，是一个嵌套列表。List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();// 如果行数为0，直接返回空列表if (numRows == 0) {return ans;}// 基础情况：杨辉三角的第一行总是 [1]。// 使用 List.of() 创建一个不可变的列表。ans.add(List.of(1));// 从第二行 (r=1) 开始，逐行生成，直到 numRows。for (int r = 1; r < numRows; r++) {// 为当前要生成的行创建一个新的列表。// r+1 是该行的元素个数，可以用于初始化容量，有微小的性能提升。List<Integer> curRow = new ArrayList<>(r + 1);// 每一行的第一个元素总是 1。curRow.add(1);// 遍历计算当前行的中间元素。// 循环从 i=1 开始，到 r-1 结束。for (int i = 1; i < r; i++) {// 核心计算逻辑：当前行的第 i 个元素等于上一行 (ans.get(r - 1))// 的第 i-1 和第 i 个元素的和。curRow.add(ans.get(r - 1).get(i - 1) + ans.get(r - 1).get(i));}// 每一行的最后一个元素总是 1。curRow.add(1);// 将完整生成的新行添加到最终结果中。ans.add(curRow);}// 返回构建好的杨辉三角。return ans;}
}
时空复杂度
时间复杂度：O(numRows^2)
- 循环结构：算法使用了嵌套循环。
- 外层
for循环从r = 1运行到numRows - 1，执行了numRows - 1次。 - 内层
for循环从i = 1运行到r - 1，执行了r - 1次。
- 外层
- 计算依据：
- 总的操作次数（主要是加法和添加操作）与生成的杨辉三角的总元素个数成正比。
- 第
r行有r+1个元素。 - 总元素个数大约是
1 + 2 + 3 + ... + numRows，这是一个等差数列求和，结果为numRows * (numRows + 1) / 2。 - 因此，总的操作次数与
numRows^2成正比。
综合分析：
算法的时间复杂度为 O(numRows^2)。
空间复杂度：O(numRows^2)
- 主要存储开销：算法的主要空间开销来自于存储整个杨辉三角的
ans列表。 - 计算依据：
- 与时间复杂度分析类似，
ans列表需要存储的总元素个数为numRows * (numRows + 1) / 2。 - 因此，存储结果所需的空间与
numRows^2成正比。
- 与时间复杂度分析类似，
- 其他变量：
curRow列表在每次外层循环中被创建，其最大长度为numRows，但这部分空间可以被看作是构建最终 O(numRows^2) 结果的一部分，不会改变整体的复杂度量级。
综合分析：
由于需要存储并返回整个三角形，算法的空间复杂度为 O(numRows^2)。