nflsoi 8.16 题解

数论场，难调场，评测机崩溃场，复活场。

C.#12322 幂次整除 / TopCoder 12870 BigFatInteger2

题意

给定四个整数 $a,b,c,d$，判断 $a^b$ 是否为 $c^d$ 的倍数，是输出 divisible，否则输出 not divisible。

$A,B,C,D\in [1,10^9]$

思路

就是这题害得 20035 崩溃。

这题值域太大，预处理质数肯定超时，所以宁愿 $O(\sqrt{V})$ 在线判断，顶多减少判断次数。

先特判：

• 对于 $1$ 的情况，$c=1$ 可以，$a=1$ 且 $c>1$ 不行；
• 幂次相等的情况，$a<c$ 不行；
• $a,c>1$，两数互质不行；
• 设 $g=\gcd (a,c)$，对于 $c$ 的剩余因子 $c/g$，如果 $\gcd (a,c/g)=1$，即 $c$ 存在 $a$ 没有的质因子，就不行。

接下来就是分解质因数和幂次，然后判断相同质因子 $a$ 的幂次和是否大于 $c$ 的即可。

其实这题不难，但是测评太久了，而且容易错，搞人心态。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define sayno {puts("not divisible");return 0;}
#define sayes {puts("divisible");return 0;}
const ll N=1e6+9;
ll a,b,c,d;
ll g;
ll f1[N],f2[N],k1[N],k2[N],c1,c2;
bool isprime(ll x)
{for(int i=2;i*i<=x;i++)if(x%i==0)return 0;return 1;
}
int main()
{scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,&d);if(c==1)sayesif(a==1&&c>1)saynoif(b==d&&a<c)saynoll g=__gcd(a,c);if(g==1)saynoll A=a/g,C=c/g;if(C>1&&__gcd(a,C)==1)saynofor(ll i=2;a>1;i++){if(isprime(a)){f1[++c1]=a;k1[c1]=1;break;}ll tot=0;while(a%i==0){tot++;a/=i;}if(tot)f1[++c1]=i,k1[c1]=tot;}for(ll i=2;c>1;i++){if(isprime(c)){f2[++c2]=c;k2[c2]=1;break;}ll tot=0;while(c%i==0){tot++;c/=i;}if(tot)f2[++c2]=i,k2[c2]=tot;}if(c1<c2)saynoll pos=1;for(int i=1;i<=c2;i++){while(pos<=c1&&f1[pos]<f2[i])pos++;if(f1[pos]!=f2[i])saynoif(k1[pos]*b<k2[i]*d)sayno}sayesreturn 0;
}
/*
75 
1
5 
2
*/

D.#16983 完整正方形 / AT_abc311_e Defect-free Squares

题意

有一个高为 $H$ 行、宽为 $W$ 列的网格。网格中从上往下第 $i$ 行、从左往右第 $j$ 列的格子记作 $(i,j)$。
网格中的每个格子要么有洞，要么没有洞。恰好有 $N$ 个格子有洞，这些格子的位置分别为 $(a_1,b_1),(a_2,b_2),\dots ,(a_N,b_N)$。

当正整数三元组 $(i,j,n)$ 满足以下条件时，以 $(i,j)$ 为左上角、$(i+n-1,j+n-1)$ 为右下角的正方形区域被称为没有洞的正方形：

• $i+n-1\le H$
• $j+n-1\le W$
• 对于所有满足 $0\le k\le n-1,0\le l\le n-1$ 的非负整数对 $(k,l)$，$(i+k,j+l)$ 这个格子没有洞。

请问网格中一共有多少个没有洞的正方形？

$1\le H,W\le 3000$，$0\le N\le \min (H\times W,10^5)$，$(a_i,b_i)$ 互不相同。

思路

看到这题单调栈应激了，怎么跟这题还在同一场 abc？

考虑枚举 $(i,j)$ 为右下角，有多少个正方形。想要悬线法吗？想要单调栈吗？怎么确定 $\min (L_{i,j},u{p}_{i,j})$ 边长的正方形里面没有洞呢？

还是 dp 吧，其实也不难想。设 $f_{i,j}$ 表示以 $(i,j)$ 为右下角的正方形有多少个。我们并入 $i-1$ 行或者 $j-1$ 列的信息，正方形的个数也就多出一个，因此是这其中某一个 $+1$。

怎么处理洞呢？首先如果 $(i,j)$ 有洞那么 $f_{i,j}=0$，假若从 $(i,j)$ 向 $(i+1,j)$ 转移，因为 $(i+1,j)$ 上面有个洞，所以不管左上状态 $f_{i-1,j}$ 和左侧状态 $f_{i,j-1}$ 状态有多大，$(i,j)$ 为右下角的合法正方形边长只能为 $1$。

因此有洞的点相当于给转移搞了个上界，即转移到 $f_{i,j}$ 是要在 $f_{i,j-1},f_{i-1,j},f_{i-1,j-1}$ 中找一个最小的上界来转移，即：
$$f_{i,j}=\min (f_{i,j-1},f_{i-1,j},f_{i-1,j-1})+1$$

答案即 $\sum f_{i,j}$

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll N=3004,M=1e5+9;
ll h,w,n;
bool vis[N][N];
ll f[N][N];
int main()
{scanf("%lld%lld%lld",&h,&w,&n);for(int i=1;i<=n;i++){ll x,y;scanf("%lld%lld",&x,&y);vis[x][y]=1;}ll ans=0;for(int i=1;i<=h;i++){for(int j=1;j<=w;j++){if(vis[i][j])f[i][j]=0;//断左断上 else f[i][j]=min(f[i-1][j-1],min(f[i-1][j],f[i][j-1]))+1;ans+=f[i][j];}}printf("%lld",ans);return 0;
}

E.#25020 偏移量 / CF1152C Neko does Maths

题意

Neko 有两个整数 $a$ 和 $b$。他的目标是找到一个 $k\ge 0$，使得 $a+k$ 和 $b+k$ 的最小公倍数尽可能小。如果有多个最优的 $k$，他需要选择最小的那个。

$1\le a,b\le 10^9$。

思路

带个 $k$ 求 $\mathrm{lcm}(a+k,b+k)=\frac{(a+k)(b+k)}{\gcd (a+k,b+k)}$ 很麻烦，但是如果我辗转相除呢？

考虑求 $\gcd (a+k,b-a)$（钦定 $a<b$），此时 $b-a$ 为定值而且因数只能在其因数里取到。枚举一个因数 $x$，那么存在一个合法的 $k$ 为 $k=x-a\mathrm{mod}x$ 使 $a+k$ 成为 $x$ 的倍数。此时判断 $\gcd (a+k,b+k)$ 是否恰为 $x$，以及其 $\mathrm{lcm}$ 是否能取得更小即可。时间复杂度 $O(\sqrt{b-a}\log V)$，$\log V$ 约为做 $\gcd$ 的值域。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll inf=3e14;
ll a,b;
ll cha;
ll cal(ll a,ll b,ll k,ll d)
{return (a+k)/d*(b+k);
}
int main()
{scanf("%lld%lld",&a,&b);if(a>b)swap(a,b);cha=b-a;ll ans=0,mi=a*b/__gcd(a,b);for(int i=1;i*i<=cha;i++){if(cha%i==0){ll x=i,y=cha/i;ll k=x-a%x;if(__gcd(a+k,b+k)==x){if(cal(a,b,k,x)<mi){mi=cal(a,b,k,x);ans=k;}}if(x==y)continue;k=y-a%y;if(__gcd(a+k,b+k)==y){if(cal(a,b,k,y)<mi){mi=cal(a,b,k,y);ans=k;}}}}printf("%lld",ans);return 0;
}

F.#8429 小学数学 / BZOJ4429 Nwerc2015 Elementary Math 小学数学

题意

Ellen 正在教她的学生小学数学，期末考试的时间到了。考试包含n道题目，每道题要求学生对一对数字进行加（+）、减（-）或乘（*）运算。

Ellen已经选好了 $n$ 对数 $(a,b)$，现在需要为每对数决定应该使用哪种运算。为了避免学生感到厌烦，Ellen希望确保这n道题的正确答案都不相同。

请帮助Ellen自动完成考试的构建工作。你可以输出任意一个。如果没有有效答案，则输出一行字符串"impossible"。

输出的运算符前后都有空格，$1\le n\le 2500$，$|a|,|b|\le 10^6$。

思路

数对进行三种运算会有三种运算结果，不同的数对经过不同的运算可能会有相同的结果，我们需要这些结果不相同，即 $n$ 个数对能够恰好配对若干个结果。

这不就是二分图匹配吗？把结果离散化成点然后跑匈牙利算法去匹配即可。

（说着容易，实则不算难调，但是题目卡我输出格式、不能分开输出数和符号什么意思？喜提 $3$ 页提交记录）

代码

//BZOJ4429
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll N=5504;
ll n;
struct term
{ll x,y;ll add,minus,times;
}a[N];
map<ll,ll>mp;
vector<ll>G[N*5];
ll val[N*5],op[N*5];
bool vis[N*5];
ll match[N*5],pp[N];
bool dfs(ll u)
{for(auto v:G[u]){if(vis[v])continue;vis[v]=1;if(match[v]==0||dfs(match[v])){match[v]=u;pp[u]=v;return 1;}}return 0;
}
struct pout
{ll x,y,op,val,id;
}b[N*5];
bool cmp(pout x,pout y)
{return x.id<y.id;
}
ll vv[N*5],nv,nnv;
int main()
{scanf("%lld",&n);for(int i=1;i<=n;i++){ll x,y;scanf("%lld%lld",&x,&y);a[i]=(term){x,y,x+y,x-y,x*y};}ll pos=n;for(int i=1;i<=n;i++){//	cout<<i<<":"<<a[i].x<<" "<<a[i].y<<endl;//	cout<<a[i].add<<"\n"<<a[i].minus<<"\n"<<a[i].times<<"\n\n";if(!mp[a[i].add])mp[a[i].add]=++pos,val[pos]=a[i].add,op[pos]=1; if(!mp[a[i].minus])mp[a[i].minus]=++pos,val[pos]=a[i].minus,op[pos]=2;if(!mp[a[i].times])mp[a[i].times]=++pos,val[pos]=a[i].times,op[pos]=3;G[i].push_back(mp[a[i].add])/*,cout<<i<<"->"<<mp[a[i].add]<<"\n"*/;G[i].push_back(mp[a[i].minus])/*,cout<<i<<"->"<<mp[a[i].minus]<<"\n"*/;G[i].push_back(mp[a[i].times])/*,cout<<i<<"->"<<mp[a[i].times]<<"\n"*/;}ll cnt=0;for(int i=1;i<=n;i++){memset(vis,0,sizeof(vis));if(dfs(i))cnt++;else break;}if(cnt<n){puts("impossible");return 0;}for(int i=1;i<=n;i++){ll ret;char op;if(val[pp[i]]==a[i].add)op='+';if(val[pp[i]]==a[i].minus)op='-';if(val[pp[i]]==a[i].times)op='*';cout<<a[i].x<<" "<<op<<" "<<a[i].y<<" = "<<val[pp[i]]<<"\n";}return 0;
}