Leetcode 最小生成树系列（1）

1135. 最低成本联通所有城市

想象一下你是个城市基建规划者，地图上有 $n$ 座城市，它们按以 $1$ 到 $n$ 的次序编号。

给你整数 $n$ 和一个数组 $conections$，其中 $connections[i]=[x_i,y_i,cos{t}_i]$ 表示将城市 $x_i$ 和城市 $yi$ 连接所要的 $cos{t}_i$（连接是双向的）。

返回连接所有城市的最低成本，每对城市之间至少有一条路径。如果无法连接所有 $n$ 个城市，返回 $-1$.

该 最小成本 应该是所用全部连接成本的总和。

示例 1：

输入： n = 3, conections = [[1,2,5],[1,3,6],[2,3,1]]
输出： 6
解释： 选出任意 2 条边都可以连接所有城市，我们从中选取成本最小的 2 条。

示例 2：

输入： n = 4, conections = [[1,2,3],[3,4,4]]
输出： -1
解释： 即使连通所有的边，也无法连接所有城市。

提示：

$1<=n<=104$
$1<=connections.length<=104$
$connections[i].length==3$
$1<=xi,yi<=n$
$xi!=yi$
$0<=costi<=105$

题解：

从全局上看，这个题的核心就是——用最小的代价让所有节点（城市）互相连通。在图论里，这就是「最小生成树」（Minimum Spanning Tree, MST）问题。

🧩 核心思想可以浓缩为两句话：

• 只选能连通新城市的边：不断用代价最小、能增加图连通性的那条边扩展已有的网络。
• 避免形成回路：一旦出现闭环，就说明那条边是多余的，会浪费成本。

以 Kruskal 为例的思路

• 按边权从小到大排序 最便宜的连接优先考虑。

• 并查集判连通 每次加入一条边，只有当它连接了两个尚不在同一连通分量的城市时才真正采用。

• 重复直到形成 n−1 条边 此时正好连接了全部 n 个城市且无环，成本最小。

代码实现

import java.util.*;public class MSTConnector {// 并查集（Disjoint Set Union，支持路径压缩和按大小合并）static class DSU {int[] parent; // parent[i] 表示节点 i 的父节点int[] size;   // size[i] 表示以 i 为根的集合大小// 构造函数：初始化 n 个独立的集合DSU(int n) {parent = new int[n];size = new int[n];for (int i = 0; i < n; i++) {parent[i] = i; // 每个节点的父节点初始化为自己size[i] = 1;   // 每个集合大小初始为 1}}// 查找 x 所在集合的根节点（路径压缩）int find(int x) {while (x != parent[x]) {parent[x] = parent[parent[x]]; // 压缩路径，加快后续查询x = parent[x];}return x;}// 合并 a 和 b 所在的集合（按集合大小合并）boolean union(int a, int b) {int ra = find(a), rb = find(b);if (ra == rb) return false; // 已在同一集合，不合并if (size[ra] < size[rb]) {int t = ra; ra = rb; rb = t; // 保证 ra 的集合较大}parent[rb] = ra; // 将较小集合合并到较大集合size[ra] += size[rb];return true;}}/*** Kruskal 算法求最小生成树的总成本* @param n 城市数量* @param connections 每条连接 [城市1, 城市2, 成本]* @return 最小总成本；若无法连通所有城市返回 -1*/public static int minimumCostKruskal(int n, int[][] connections) {if (n <= 1) return 0; // 没有城市或只有一个城市，不需要连接// 将边转成 [cost, u, v] 格式，并忽略自环List<int[]> edges = new ArrayList<>();for (int[] e : connections) {int x = e[0], y = e[1], c = e[2];if (x == y) continue; // 忽略自环edges.add(new int[]{c, x - 1, y - 1}); // 转换为 0-based 索引}// 按照成本升序排序edges.sort(Comparator.comparingInt(a -> a[0]));DSU dsu = new DSU(n); // 初始化并查集long total = 0;       // 累加总成本int used = 0;         // 已选用的边数量// 遍历所有边，贪心选择能连通两个不同集合的最小边for (int[] e : edges) {int c = e[0], u = e[1], v = e[2];if (dsu.union(u, v)) { // 如果连接了两个不同集合total += c;used++;if (used == n - 1) return (int) total; // 已构成生成树}}return -1; // 遍历完仍未连通所有城市}public static void main(String[] args) {int n = 4;int[][] connections = {{1, 2, 3},{2, 3, 4},{3, 4, 5},{1, 4, 10},{2, 4, 6}};// Kruskal 输出System.out.println(minimumCostKruskal(n, connections)); // 输出 12// Prim 输出System.out.println(minimumCostPrim(n, connections));    // 输出 12}/*** Prim 算法求最小生成树的总成本* @param n 城市数量* @param connections 每条连接 [城市1, 城市2, 成本]* @return 最小总成本；若无法连通所有城市返回 -1*/public static int minimumCostPrim(int n, int[][] connections) {if (n <= 1) return 0;// 构建邻接表，每个元素是 (cost, 目标城市)List<int[]>[] adj = new ArrayList[n];for (int i = 0; i < n; i++) adj[i] = new ArrayList<>();// 添加无向边for (int[] e : connections) {int x = e[0], y = e[1], c = e[2];if (x == y) continue; // 忽略自环int u = x - 1, v = y - 1;adj[u].add(new int[]{c, v});adj[v].add(new int[]{c, u});}boolean[] visited = new boolean[n]; // 标记已加入生成树的城市PriorityQueue<int[]> pq = new PriorityQueue<>(Comparator.comparingInt(a -> a[0]));long total = 0; // 累加总成本int count = 1;  // 已访问城市数// 从 0 号城市出发，将它的所有边加入最小堆visited[0] = true;for (int[] edge : adj[0]) pq.offer(edge);// 不断从堆中取最小边扩展while (!pq.isEmpty() && count < n) {int[] top = pq.poll();int c = top[0], v = top[1];if (visited[v]) continue; // 城市已访问，跳过visited[v] = true;count++;total += c;for (int[] edge : adj[v]) pq.offer(edge); // 加入新城市的边}return count == n ? (int) total : -1; // 判断是否连通}
}

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