CF每日3题(1600)

省流：

• 2129B 贪心找最少逆序对
• 2128D dp找所有子数组LDS长度和
• 2125D 概率dp

2129B 贪心 1600

参考题解
题意：给一组排序，保持原样或反转变成$2n-p_i$，让逆序对数量最小化

• 排列$p_i\le n$，那么$2n-p_i\ge n$
• $p_i$保持原样
  • 前面的数若$j<i,p_j>p_i$，形成逆序对
  • 后面的逆序对会在之后的循环中计算
• $p_i$变成$2n-p_i$
  • 前面的数不会和$2n-p_i$逆序
  • 后面的数尽量反转，若$i<j,p_i<p_j,2n-p_i>2n-p_j>p_j$

void solve(){int n;cin>>n;vector<int>p(n+1);forr(i,1,n)cin>>p[i];//O(n2)可接受int ans=0;forr(i,2,n){int pre=0,suf=0;forr(j,1,i-1)pre+=(p[j]>p[i]);//本次不反转forr(j,i+1,n)suf+=(p[j]>p[i]);//本次反转 后面的尽量都要反转以避免产生逆序对 //但是如果j>i p[j]>p[i] p[j]<2n-p[j]<2n-p[i] 那就没办法了 一定会有逆序对ans+=min(pre,suf);//看反转还是不反转比较好}cout<<ans<<endl;
}

2128D dp 1600

题意：找所有子数组（数组连续一段）中最大LDS长度和
$dp[i][j]$是以$p_i$为结尾，长度为$j$的子数组$(j\le i)$

• 若$p_{i-1}>p_i$，形成LDS，$$\begin{gathered} dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1 \\ 又dp[i]=\sum _{j=1}^{i}dp[i][j]=\sum _{j=1}^{i}dp[i-1][j-1]+i=dp[i-1]+i \\ dp[i]=dp[i-1]+i \end{gathered}$$
• 若$p_{i-1}<p_i,由题max(p_{i-2},p_{i-1})>p_i,p_{i-2}>p_i>p_{i-1}$，从$p_{i-2}$转移过来$$\begin{gathered} dp[i][j]=dp[i-2][j-1]+1 \\ dp[i]=\sum _{j=1}^{i}dp[i][j]=(\sum _{j=1}^{i}dp[i-2][j-1]+i-1)+1=dp[i-1]+1 \end{gathered}$$

void solve(){int n;cin>>n;vector<int>dp(n+1);vector<int>p(n+1);forr(i,1,n)cin>>p[i];dp[1]=1;forr(i,2,n){if(p[i]<p[i-1])dp[i]=i+dp[i-1];else dp[i]=dp[i-1]+1;}int sm=0;forr(i,1,n)sm+=dp[i];cout<<sm<<endl;
}

2125D 概率dp 数学 1600

参考题解
题意：找每个格子恰好被一条线段覆盖的概率

• 恰好一条线段，其他不覆盖×一条覆盖
• $dp[r_i]=dp[l_i-1]+pro{b}_i\prod (1-pro{b}_{others})$
• 其他不覆盖概率的可以用前缀积得出

const int N=2e5+10,mod=998244353;
struct seg
{int l,r;int pro;
}a[N];
/* 
dp[i]以a[i].r结尾的答案
ex[i]a[i].r什么都不选的概率
*/
int dp[N],ex[N];
int qpow(int x,int a){int res=1;while (a){   if(a&1)res*=x,res%=mod;a>>=1;x*=x,x%=mod;}return res%mod;
}
int inv(int x){return qpow(x,mod-2)%mod;
}
void solve(){int n,m;cin>>n>>m;forr(i,0,m)ex[i]=1;forr(i,1,n){int p,q;cin>>a[i].l>>a[i].r>>p>>q;a[i].pro=p*inv(q)%mod;ex[a[i].l]=ex[a[i].l]*(1-a[i].pro+mod)%mod;}forr(i,1,m)ex[i]=ex[i]*ex[i-1]%mod;//前缀积 可用来求区间中什么都不选的概率sort(a+1,a+n+1,[](seg x,seg y){return x.l<y.l;});dp[0]=1;forr(i,1,n){int tp=dp[a[i].l-1];tp=tp*ex[a[i].r]%mod*inv(ex[a[i].l-1])%mod;//l~r什么都不覆盖的概率tp=tp*inv(1-a[i].pro+mod)%mod;//除了i线段其他什么都没有的概率tp=tp*a[i].pro%mod;//只覆盖i线段dp[a[i].r]=(dp[a[i].r]+tp)%mod;}// forr(i,1,m)cout<<dp[i]<<' ';cout<<endl;cout<<dp[m]<<endl;
}