第五章 树与二叉树

今日格言：积极的人在每一次忧患中都看到一个机会，而消极的人则在每个机会都看到某种忧患。

知识框架图

考纲内容以及重难点

考纲内容

• 树的基本概念
• 树的存储结构
• 二叉树的顺序存储结构和链式存储结构
• 二叉树的遍历
• 线索二叉树的基本概念和构造
• 森林和二叉树的转换
• 树和森林的遍历
• 哈夫曼(Huffman)树和哈夫曼编码
  统考以选择题和大题的形式考察本章。选择题考点较多，大多数不难，树和二叉树的性质，二叉树的应用，二叉树的遍历等等。大题考过和树遍历相关的算法题。

重难点

显然从标题就可以看出二叉树是重难点，各种遍历操作之类的。

树和森林

基本概念

树是n(n≥0)个结点的有限集。当n=0时，称为空树。
在任意一棵非空树中应满足：

• 有且仅有一个特定的称为根的结点。
• 当n大于1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集$T_1,T_2,\dots T_m$，其中每个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。
  由此可以看出，树是一种递归的数据结构，因为在树的定义中用到了其自身。
  树适用于表示具有层次结构的数据，例如：族谱、文件系统以及思维导图。
  
  

树的性质

树中的某个结点（除根节点外）最多只和上一层的一个结点（即其双亲结点）有直接关系，根节点没有直接上层结点，因此在n个结点的树中有n-1条边。简而言之：

• 树的根结点没有前驱，除根节点外的所有结点有且只有一个前驱。
• 树中所有结点都可以有零个或多个后继。
  
  有序树：树中结点的各子树从左到右是有次序的，不能互换，称该树为有序树，否则称为无序树。

树的存储结构

依旧采用顺序存储或者链式存储结构，但无论采用何种存储方式，都要求能唯一地反映树中各结点间的逻辑关系。

双亲表示法

有点类似于树的层次遍历，这种存储结构采用一组连续空间来存储每个结点，同时在每个结点中增设一个伪指针（数组下标），指向其双亲结点在数组中的位置。

双亲表示法的存储结构可定义如下：

#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef struct {
ElemType data;
int parent;    //伪指针
}PTNode;typedef struct{
PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];    //双亲表示数组
int n;    //结点数
}

孩子表示法

孩子兄弟表示法

森林

如下图所示：可以看出只要把根节点删去就成了森林。反之，只要给m棵独立树加上一个结点，并把这m棵树作为该结点的子树，则森林就变成了树。

二叉树

二叉树的定义

二叉树的性质

二叉树的存储结构

顺序存储结构

链式存储结构

二叉树的遍历

先序遍历(PreOrder)

中序遍历(InOrder）

后序遍历(PostOrder)

层次遍历

由遍历序列构造二叉树

线索二叉树

线索二叉树的基本概念

中序线索二叉树

先序线索二叉树

后序线索二叉树

哈夫曼树和哈夫曼编码

哈夫曼树的定义

哈夫曼树的构造

哈夫曼树的性质

哈夫曼编码

树和森林的遍历

树的遍历

树的遍历是指用某种方式访问树中的每个结点，且仅访问一次。主要有先根遍历和后根遍历这两种方式：

先根遍历

若树非空，则按如下规则遍历：

• 先访问根节点
• 再依次遍历根结点的每棵子树，遍历子树时仍遵循先根后子树的规则。
  其遍历序列与这棵树相应二叉树的先序序列（根左右）相同。

后根遍历

若树非空，则按如下规则遍历：

• 先依次遍历根结点的每棵子树，遍历子树时仍遵循先子树后根的规则。
• 再访问根节点。
  其遍历序列与这棵树相应二叉树的中序序列相同。
  树也有层次遍历，与二叉树的层次遍历思想基本相同，即按层序依次访问各结点。
  

森林的遍历

森林有两种遍历方法：

先序遍历森林

若森林为空，则按如下规则遍历：

• 访问森林中第一棵树的根节点
• 先序遍历第一棵树中根节点的子树森林
• 先序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林
  
  

中序遍历森林

森林为空时，按如下规则遍历：

• 中序遍历森林中第一棵树的根节点的子树森林
• 访问第一棵树的根节点
• 中序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林
  
  

树、森林与二叉树的转换

树转换为二叉树

左孩子右兄弟法，因为根节点没有兄弟，因此树转换得到的二叉树没有右子树。

森林转换为二叉树

每棵树都左孩子右兄弟，然后再依次将第i棵二叉树作为第i-1棵二叉树的右子树。

二叉树转换为森林

和森林转化为二叉树的过程正好逆过来，先断链，再分别将二叉树转为树。

错题