剑指offer第2版——面试题3：数组中重复的数字

一、题目

1.1 数组中重复的数字

在一个长度为 n 的数组里，所有数字都在 0～n-1 的范围内。数组中某些数字是重复的，但不知道有几个数字重复了，也不知道每个数字重复了几次。请找出数组中任意一个重复的数字。

示例：
输入数组 [2, 3, 1, 0, 2, 5, 3]，输出任意一个重复数字，如 2 或 3。

1.2 考点

• 对一维数组的理解及编程能力：一维数组在内存中占用连续空间，可基于下标快速定位对应元素。解题时需灵活运用数组特性，通过下标访问与操作元素来寻找重复数字。
• 算法的时间与空间复杂度分析：需掌握不同解法的时间和空间成本，并能够优化。像先排序再找重复值，时间复杂度为 O (n log n)，空间复杂度为 O (1)；利用哈希表记录访问情况，时间复杂度达 O (n)，但空间复杂度为 O (n)；而利用数组数字范围在 0 至 n-1 这一条件，用原地置换法能实现时间复杂度 O (n) 与空间复杂度 O (1)，是本题的较优解法。
• 分析问题与挖掘题目隐含条件的能力：关键在于留意到数字范围 “0 至 n-1” 和数组长度 n 的对应关系，进而设计出原地置换的高效解法，这体现了挖掘出题条件背后价值以构思算法的能力。

二、答案

2.1 思路

​ ①把数组排序一下！

​ ②比较前头两个数字即可！

2.2 我的答案

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;template <typename T,size_t N>//模板参数用于接收N的大小
void printArray(T (&attr)[N]) // 接收大小为 N 的 int 数组的引用
{sort(begin(attr), end(attr));T temp = attr[0];for (int i = 0; i < N; ++i){if (attr[i] == attr[i + 1]){cout << attr[i] << endl;}}
}int main() {int a[7] = { 2,3,1,0,2,5,3 };printArray(a);return 0;
}

模板定义：

template <typename T, size_t N>

• template <>：声明这是一个模板函数
• typename T：定义第一个模板参数 T，表示数组中元素的类型（可以是 int、double 等）
• size_t N：定义第二个模板参数 N，表示数组的大小（编译时确定的常量）

函数参数：

void printArray(T (&attr)[N])

T (&attr)[N]：接收一个数组的引用，其中：

• T 是数组元素的类型（由模板参数指定）
• N 是数组的大小（由模板参数指定）
• 使用引用 & 是为了精确传递数组类型，避免数组被隐式转换为指针（从而能获取到数组的实际大小 N）

为啥不能是T& attr[N]?

T& attr[N] 声明的是 “一个包含 N 个 T 类型引用的数组”，但 C++ 明确禁止 “引用数组”：

• 引用本质上是变量的别名，不是对象，而数组是 “对象的集合”，因此无法创建 “引用的数组”。
• 编译器会直接报错（如 error: declaration of 'attr' as array of references）。

与原代码意图的区别

原代码 T (&attr)[N] 是 “数组的引用”（引用一个大小为 N 的 T 类型数组），目的是：

• 精确传递数组类型，保留数组的大小信息（N 可通过模板推导）。
• 避免数组被隐式转换为指针（如果写成 T attr[]，函数内部会退化为指针，无法获取 N）。

三、扩展题目

如何不改变数组的情况下？达到目的？

3.1 哈希表 / 集合辅助法（空间换时间）

• 原理：遍历数组时，用哈希表（或集合）记录已出现的数字，每次判断当前数字是否已在集合中，若存在则直接返回（重复数字）。

• 特点：

  • 时间复杂度 O (n)（一次遍历），空间复杂度 O (n)（最多存储 n-1 个不重复数字）。
  • 不修改原数组，实现简单，适合数字范围无限制的场景。

  #include <iostream>
  #include <algorithm>
  #include <unordered_set> // 哈希集合头文件
  using namespace std;template <typename T, size_t N>
  void printArray(T(&attr)[N])
  {unordered_set<T> seen; // 哈希集合存储已出现的元素for (size_t i = 0; i < N; ++i) {// 若当前元素已在集合中，说明找到重复数字if (seen.find(attr[i]) != seen.end()) {cout << "找到重复数字：" << attr[i] << endl;return; // 找到一个即返回}// 否则将元素加入集合seen.insert(attr[i]);}// 题目保证有重复，实际可省略此句cout << "无重复数字" << endl;
  }int main() {int a[7] = { 2,3,1,0,2,5,3 };printArray(a); // 输出：找到重复数字：2return 0;
  }

3.2 二分查找法（利用数字范围特性，时间换空间）

• 原理：基于题目中 “数字范围为 0~n-1” 的特性，通过二分法统计每个区间内数字的出现次数，找到存在重复的区间，逐步缩小范围。

• 例如：数组长度为 7，数字范围 0~6。先二分取中间值 3，统计 0~3 范围内的数字出现次数，若次数 >4（3-0+1），则重复数字在 0~3 中；否则在 4~6 中，以此类推。

• 特点：

  • 时间复杂度 O (n log n)（每次二分需遍历数组统计次数，共 log n 轮），空间复杂度 O (1)。

  • 不修改原数组，无需额外空间，但仅适用于 “数字范围与数组长度匹配” 的场景。

    #include <iostream>
    #include <algorithm>
    using namespace std;// 统计数组中在[left, right]范围内的数字个数
    template <typename T, size_t N>
    int countInRange(T(&attr)[N], int left, int right) {int count = 0;for (size_t i = 0; i < N; ++i) {if (attr[i] >= left && attr[i] <= right) {count++;}}return count;
    }// 二分查找法找重复数字
    template <typename T, size_t N>
    void printArray(T(&attr)[N]) {int left = 0;int right = N - 1; // 数字范围是0~n-1while (left < right) {int mid = left + (right - left) / 2; // 避免溢出int count = countInRange(attr, left, mid);// 若[left, mid]范围内的数字个数超过区间长度，说明重复数字在此区间if (count > mid - left + 1) {right = mid;} else {// 否则在[mid+1, right]区间left = mid + 1;}}// 循环结束时left == right，即为重复数字cout << "找到重复数字：" << left << endl;
    }int main() {int a[7] = { 2,3,1,0,2,5,3 };printArray(a); // 输出：找到重复数字：2（或3，取决于二分过程）return 0;
    }
    

3.3 总结

• 哈希表法更通用，实现简单，适合大多数场景；
• 二分查找法空间更优，但依赖题目特定条件（数字范围 0~n-1），是对 “利用隐含条件” 考点的延伸。

两种方法均满足 “不改变原数组” 的要求，核心是在时间与空间复杂度之间做权衡。

四、知识扩展

4.1 unordered_set是C++标准库的容器，属于无序关联容器，其核心特性如下：

1. 存储唯一元素
   • 容器中不会存在重复元素（每个元素都是唯一的），插入已存在的元素时会失败（返回的迭代器指向已有的元素，且不会改变容器）。
2. 无序性
   • 元素的存储顺序与插入顺序无关，也不按任何规则排序（内部通过哈希表实现，元素分散存储在桶中）。
   • 无法通过下标访问元素，只能通过迭代器遍历（遍历顺序不确定）。
3. 基于哈希表实现
   • 内部使用哈希表（散列表）存储元素，通过元素的哈希值快速定位其存储位置。
   • 插入、删除、查找操作的平均时间复杂度为 O (1)（理想情况下，无哈希冲突时），最坏情况为 O (n)（哈希冲突严重时）。
4. 元素不可修改
   • 存储的元素是常量（const），不能直接修改容器中的元素值（若需修改，需先删除旧元素，再插入新元素），因为修改会改变哈希值，破坏存储结构。
5. 支持高效查找
   • 核心优势是快速查找，通过 find() 方法可在平均 O (1) 时间内判断元素是否存在，这也是它适合用于 “去重”“判重” 场景的原因（如前文中检测重复数字）。
6. 模板参数
   • 需指定元素类型（如 unordered_set<int>、unordered_set<string>），默认使用 std::hash<T> 计算哈希值，也可自定义哈希函数和比较函数。

简言之，unordered_set 的核心特性是无序、唯一、哈希存储、高效查找，适合需要快速判断元素是否存在且不关心顺序的场景。

4.2 unordered_set判断元素是否存在？

1. seen.find(attr[i])
   • 作用：在哈希集合 seen 中查找值为 attr[i] 的元素。
   • 返回值：
     • 若找到该元素，返回指向该元素的迭代器（类似指针，指向元素位置）。
     • 若未找到，返回一个特殊迭代器 seen.end()（表示集合的 “尾部”，即不存在该元素）。
2. seen.end()
   • 这是 unordered_set 的一个成员函数，返回指向集合最后一个元素之后位置的迭代器（不指向任何实际元素），用于标记 “查找失败” 或 “遍历结束”。
3. 整个表达式的含义
   • seen.find(attr[i]) != seen.end() 表示：
     “在集合中找到了 attr[i] 这个元素”（因为查找返回的迭代器不是 end()，说明指向了有效元素）。
   • 反之，若 == seen.end()，则表示 “未找到该元素”。