【数据结构入门】堆

目录

1.堆的概念

2.堆的实现（小堆）

2.1 堆的结构体

2.2 堆的初始化&建堆（逻辑）

2.3 建堆（物理数组）

2.3.1 向下调整算法

2.3.2 满足向下调整算法的条件

2.3.3 建堆的时间复杂度分析

2.4 堆排序

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1.堆的概念

堆本质上是完全二叉树使用数组存储的一个数据结构。

堆分为大根堆、小根堆：

大根堆：

每个父亲结点都大于等于孩子结点。

        

小根堆：

每个父亲结点都小于等于孩子结点。

        堆可以用来选出这个堆中最大或者最小的值，只需要不断维护这个堆即可，那么后面的堆排序的原理其实就是通过维护堆来实现的。

我们做一下下面的题目，巩固一下堆的概念：

可以直接还原为完全二叉树，也可以目测，首先判断第一个数和第二个数的大小，如果第一个数大于第二个数那么就是大根堆，如果后面的数字有比第一个数字大的直接排除，小根堆同理，选A。

2.堆的实现（小堆）

2.1 堆的结构体

        这里使用数组实现，由于后续可能考虑到堆的插入会涉及到扩容的问题，所以这里需要一个size表示实际的元素个数，以及capacity堆的容量。

typedef int dataType;
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
typedef struct Heap
{dataType* data;int size;int capacity;
}Heap;

2.2 堆的初始化&建堆（逻辑）

        对于堆中的data来说，需要创建一个固定大小的空间，此时外界传入空间的大小，大小赋给size和capacity，需要注意的一点是，第一次建堆的时候，数据是从外界获取的，可以是在数组开辟完毕之后拷贝过来。

void heapInit(Heap* p, dataType* data, int size) 
{p->data = (dataType*)malloc(sizeof(dataType)*size);memcpy(p->data,data, sizeof(dataType) * size);// 提供的数组数据拷贝到堆内数组p->size = size;p->capacity = size;// 建堆
}

        接下来就要开始建堆了，假如外界传入一组数据，我们如何构建小堆呢？

这里举一个非常特殊的例子，当一个完全二叉树的根结点的左右子树都是小堆，只有根结点需要进行调整，那么我们调整的过程如下：

①27首先和自己的左右孩子进行比较，选出最小的孩子和自己交换，即27和15交换。

②接下来，只需要调整左子树即可，因为右子树本身就是一个小堆，我们需要找出27的左右孩子中较小的那一个进行交换，也就是和18进行交换。

        

③最后选出25和27交换，最终形成了小根堆。

上面调整的过程就是所谓的向下调整算法，这个算法的前提是左右子树都是小堆（大堆）。

2.3 建堆（物理数组）

①首先需要找到根结点的左右孩子，其实就是根节点的下标*2+1（左孩子），根节点的下标*2+2（右孩子）。

②找到左右孩子之后，需要判断自己是否是小堆，即自己是否比孩子要小，如果不是需要和孩子交换。

③选出孩子中较小的一个进行交换，交换完毕之后，新的根结点就是那个被交换的孩子，以此类推继续判断自己是不是小堆。

④每次计算孩子下标的时候，需要判断下标是否越界，如果越界说明，本节点就是叶子结点。

2.3.1 向下调整算法

        首先函数需要三个参数，第一个是需要调整的堆，第二个是堆中数组的长度，第三个是指定需要调整的堆的根结点的下标。

        然后我们假设根结点的左孩子是最小的孩子，如果判断右孩子比左孩子还小，那么更新右孩子为左孩子。

        其次，若根节点比最小的孩子还要大，那么就进行交换，交换完毕之后需要更新最新的根结点是最小的孩子，同时需要计算最新的孩子。

        最后，我们发现这个过程是一个持续的过程，所以写成循环，退出循环的条件是当孩子节点计算的值大于或等于数组的长度，说明这个结点就是叶子结点需要终止循环；

        然而我们发现循环还是有问题，因为只有头结点交换了才会更新头结点和孩子节点的下标，这样就永远无法退出循环，所以如果没有发生交换，也就是说头结点本身比最小的孩子节点还要小，说明就不需要进行堆调整了，直接退出循环。

void Swap(dataType* p1, dataType* p2)
{dataType tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}// 向下调整算法，默认左右子树都是小堆
void adjustDown(dataType* a, int n,int root)// 堆，数组长度，需要调整的根结点
{// 选出最小的孩子int parent = root;// 最小孩子下标int childIndex = 2 * parent + 1;// 默认左孩子是最小的孩子while (childIndex < n ) //左右孩子都不能越界{// 右孩子更小，那么就调整最小孩子的下标为右孩子if ( childIndex + 1 < n && a[childIndex] > a[childIndex + 1]){++childIndex;}if (a[parent] > a[childIndex]) // 父结点比子结点大，不是小堆，需要交换{Swap(&a[parent], &a[childIndex]);parent = childIndex;childIndex = 2 * parent + 1;}else {// 小的孩子已经大于父亲，直接退出循环即可break;}}
}

        BUG：仔细阅读代码会发现，这个代码存在越界问题，若当前根节点是绿色方框框选的结点，那么我们势必要访问它的孩子节点，此时循环判断左孩子节点（默认最小孩子赋值为左孩子）的下标小于n，但是要访问它的右孩子一定会发生越界的问题，我们该如何处理呢？

while (childIndex < n)
{
// 右孩子更小，那么就调整最小孩子的下标为右孩子if (a[childIndex] > a[childIndex + 1]){++childIndex;}
......
}

这里只有一个左孩子，根结点还是需要和左孩子交换的，所以只需要在判断语句中判断，如果右节点的下标小于数组长度 并且右节点小于左节点，才能更新最小孩子节点为右节点。

while (childIndex < n ) //左右孩子都不能越界
{// 右孩子更小，那么就调整最小孩子的下标为右孩子if ( childIndex + 1 < n && a[childIndex] > a[childIndex + 1]){++childIndex;}.......
}

        到了这里还是有一个致命的问题，我们无法保证传过来的根结点的左右子树都是小堆，这个条件太苛刻了，如果不满足这个条件，就无法使用向下调整算法。

2.3.2 满足向下调整算法的条件

        已知每一个单独的叶子节点都可以看做一个堆，那么我们只需要从叶子结点所处的最小二叉树入手，即找到叶子结点的父结点，(下标-1)/2即可；

        找到父结点之后，例如下图的72，由于两个叶子结点都是单独的节点也就是单独的堆，是满足向下调整算法的条件的，那么我们只需要将72作为根节点进行向下调整算法，使其变成一个堆，以此类推，调完72之后，再去调它的兄弟节点53，只需要下标-1即可，两个子树都符合向下调整的算法，53所在的子树调整完毕之后，下标继续-1，就是48所在的子树进行调整。

调整的顺序如下：

所以堆的初始化已经完成，这里可以打印数组看看。

// 堆初始化
void heapInit(Heap* p, dataType* data, int size)
{p->data = (dataType*)malloc(sizeof(dataType) * size);memcpy(p->data, data, sizeof(dataType) * size);// 提供的数组数据拷贝到堆内数组p->size = size;p->capacity = size;// 建堆// 最后一个叶子结点的下标是size - 1,找父亲节点就是，(孩子节点-1)/2for (int i = (size-1-1)/2; i >= 0; --i){adjustDown(p->data,p->size,i); // 最后一个叶子节点的父结点开始每次下标-1，依次进行向下调整}
}

将调整后的数组直接打印，发现能够正常输出小堆。

2.3.3 建堆的时间复杂度分析

        树的高度是，那么最坏情况是要遍历整个堆，一共调整的次数是N/2次，所以可能读者会认为建堆的过程的时间复杂度是，但是实际上并不是这样。

for (int i = (size-1-1)/2; i >= 0; --i)
{adjustDown(p->data,p->size,i); // 最后一个叶子节点的父结点开始每次下标-1，依次进行向下调整
}

        因为我们的调整是从堆的最后一个节点的父结点开始的，如果是从0开始那么时间复杂度才是，       。

未完待续......

2.4 堆排序

        学会向下调整、建堆之后，我们就可以尝试完成堆排序了。