【数据结构入门】二叉树（1）
目录
1.二叉树的概念
2.特殊的二叉树
2.1 满二叉树
2.2 完全二叉树
3. 二叉树的三个公式
3.1 求K层满二叉树有多少节点
3.2 求第K层非空二叉树中最多有多少节点
3.3 度为0和度为2的结点之间的关系
4.二叉树题目
4.1 题目一
4.2 题目二
4.3 题目三
4.4 题目四
5. 推导结论
满二叉树公式：
完全二叉树公式：
满二叉树的高度：
完全二叉树的高度：
6.二叉树的数据存储
本期内容是在《树》的基础上进行的拓展，没有学习的读者，可以点击前面的跳转链接进行学习。
上一期内容讲了树，树其实本质上就是根 + 它的子树，在一棵树中的任意一个节点都满足此规律，所以树是一个递归结构。
1.二叉树的概念
就是度为2的树。每个结点最多有两个孩子，第一个孩子叫做左孩子，第二个孩子叫做右孩子。下图就是生活中真实的“二叉树”。
2.特殊的二叉树
2.1 满二叉树
一个二叉树，每一层的结点达到最大值，这个二叉树就是满二叉树，如果说这个二叉树的层数是K，那么这个结点的总数是：
2.2 完全二叉树
完全二叉树是一个效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树引出来的，对于深度为K的，有N个节点的二叉树，当前晋档每一个节点都与深度为K的满二叉树中编号从1到N的结点一一对应时，称之为完全二叉树，满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
说人话就是前K-1层必须是满二叉树，最后一层可以不满，但是最后一层的结点必须是从左到右连续存放的。
下面这张图就是讲过的概念的包含顺序，其中树的概念最大。
3. 二叉树的三个公式
根结点所在的层数是1；
3.1 求K层满二叉树有多少节点
3.2 求第K层非空二叉树中最多有多少节点
3.3 度为0和度为2的结点之间的关系
度为0其实就是叶子结点，度为2就是既有左孩子还有右孩子的节点。
4.二叉树题目
4.1 题目一
叶子结点的数目 = 度为2的结点数目 + 1 = 199 + 1 = 200
选B
4.2 题目二
设叶子节点个数为N0，度为2的节点的个数是N2，度为1的节点的个数是N1，有N0 = N2 + 1、
N1 + N2 + N0 = 2n；带入得2N0 - 1 + N1 = 2n，化简2N0 + N1 = 2n + 1，因为是2n个节点（偶数个），说明一定是下面这种情况：一定会存在一个节点的度是1，又因为这是完全二叉树，也就是说有且仅有一个节点度为1，N1是1，那么N0就是n，选A。
4.3 题目三
2的9次方-1 = 511，说明9层满二叉树的节点个数是511，而531比9层满二叉树节点个数还要多，说明至少是10层，2的10次方-1 = 1023远大于531，说明这是一个10层不满的完全二叉树。
选B
4.4 题目四
从上一题推断这是一个不满10层的二叉树，767 - 满9层二叉树511 = 256，也就是说最后一层有256个节点，占用了第9层的128个节点，第九层有2的8次方个即256个数据，被占用了128个数据，还剩128个数据没有孩子，再加上第10层原本的256个没有孩子的节点，那么就有384个叶子结点。
选B
5. 推导结论
N个节点高度是h；
满二叉树公式：
完全二叉树公式：
这里的x是最后一层可能存在的节点个数，如果X=0，那么就是满二叉树，如果是最后一层所有的节点之和，那么就会退化到上一层，所以X必须是最后一层所有结点之和-1，保证最后一层至少有一个节点。
所以X的取值范围是：
完全二叉树节点的范围：
~
满二叉树的高度：
完全二叉树的高度：
高度最小值：
将x=0带入：
高度最大值：
将x= 带入：
即：
最后：
完全二叉树高度的范围：
~
6.二叉树的数据存储
对于完全、满二叉树而言适合用数组来存储，将每一层的数据按顺序存储到数组中。
已知当前节点的下标为i，就可以求出左孩子的下标为：
求出右孩子的下标为：
已知孩子的下标为i，那么父结点的下标为：
对于非完全二叉树，使用数组存储，会有空间的浪费。
可以使用链式存储
