三相LLC拓扑分析

三相LLC拓扑分析

工作原理分析

三相LLC中根据拓扑连接结构可以分为星型连接和三角形连接。针对原副边的不同连接方式可以产生4种组合，同时在四种组合的原边针对谐振电容、谐振电感、变压器等独立配置的方式又可以分裂出多种组合方式。由于分析的原理方法类似，这里仅对最经典的原副边均为星型结构的三相拓扑进行分析。其结构图如下所示。

考虑到输出的电流纹波最小化，正常情况下三相LLC的三桥臂驱动信号是以错相120度的关系进行工作的。而又因为谐振状态下，谐振电容和谐振电感的阻抗为零。因此认为其电压分配可以等效为三相变压器励磁电感的阻抗分配关系。通过仿真可以看出其单相励磁电感的电压呈现六电平依次交变。

其六个电压依次为：
$$\frac{1}{3}{V}_{in}、\frac{2}{3}{V}_{in}、\frac{1}{3}{V}_{in}、-\frac{1}{3}{V}_{in}、-\frac{2}{3}{V}_{in}、-\frac{1}{3}{V}_{in}$$
同理通过励磁电感的电压与电流的关系，励磁电流将呈现六个变化斜率，其依次为：
$$\frac{1}{3}\frac{V_{in}}{L_m}、\frac{2}{3}\frac{V_{in}}{L_m}、\frac{1}{3}\frac{V_{in}}{L_m}、-\frac{1}{3}\frac{V_{in}}{L_m}、-\frac{2}{3}\frac{V_{in}}{L_m}、-\frac{1}{3}\frac{V_{in}}{L_m}$$
因此通过仿真，其电流曲线如下图红色曲线所示：

再来看星型连接的输出端，三个变压器同名端相连形成公共点。通过仿真我们可以看到，其每个变压器的副边电压波形如下图所示：

其变化规律同原边励磁电感电压，其六个电压分别为：
$$\frac{1}{3}\frac{V_{in}}{n}、\frac{2}{3}\frac{V_{in}}{n}、\frac{1}{3}\frac{V_{in}}{n}、-\frac{1}{3}\frac{V_{in}}{n}、-\frac{2}{3}\frac{V_{in}}{n}、-\frac{1}{3}\frac{V_{in}}{n}$$
同时我们可以观察到一个规律，当一相电压达到最大的电压平台，另外两相电压必然是方向相反的小电压平台。。因此我们可以分析其拓扑结构。两相电压如果方向相反，则体现在输出电压上为电压相加的关系。因此我们可以得到其六个电压也可以表示为：
$$\frac{1}{3}{V}_o、\frac{2}{3}{V}_o、\frac{1}{3}{V}_o、-\frac{1}{3}{V}_o、-\frac{2}{3}{V}_o、-\frac{1}{3}{V}_o$$
因此通过分析，在不考虑匝比的情况下，其拓扑谐振增益为1。

---

这里引入副边三角形连接的方式进行对比。在副边三角形连接方式中，每相变压器的副边异名端相连，同时每相变压器副边接全桥整流电路。此时可以发现其与星型连接的最大的不同就是其每个变压器的副边都可以单独输出。与星型连接相同，当一相电压达到最大的电压平台，另外两相电压必然是方向相反的小电压平台。通过拓扑分析，其一相达到最大电压平台后就直接为输出电压，其两外两相相加也为输出电压输出。因此其六个电压平台为–>
$$\frac{1}{2}{V}_o、V_o、\frac{1}{2}{V}_o、-\frac{1}{2}{V}_o、-V_o、-\frac{1}{2}{V}_o$$
因此通过分析，在不考虑匝比的情况下，其拓扑谐振增益为2/3。

---

基波分析

通过上面的分析，我们已知输入输出的电压增益为1，同时每相电压波形呈现规律的变化。因此分析三相LLC与单相LLC的区别仅仅体现在输入电压波形的不同。因此我们可以将三相LLC的每一相等效为单相LLC进行分析。

对第二波形进行傅里叶级数分解可得其公式为：
$$V_{a1}(t)=\frac{4V_{in}}{3\pi }(sin(w_{s}t)+\frac{1}{3}sin(3w_{s}t)...+\frac{1}{n}sin(n{w}_{s}t))$$

$$V_{a2}=\sum _{k=1}^N(\frac{4V_{in}}{3\pi }sin(\frac{n\pi }{2})sin(\frac{n\pi }{6})sin(n{w}_{s}t))$$

得到输入电压的基波分量的幅值为：
$$V_a=V_{a1}+V_{a2}=\frac{6V_{in}}{3\pi }$$
同理可以得到输出电压的基波分量为：
$$V_{o\_base}=\frac{2V_o}{\pi }$$
傅里叶级数展开的方法很重要，需要知道化简的方法，才能方便得到结论，建议使用原点对称方法化简

接着分析单相输出电流的有效值。我们对输出电流进行仿真，可以发现其输出电流呈馒头波交替。周期为Ts/6。

针对六分之一个周期进行积分，可以得到其输出电流等于：
$$I_o=\frac{6}{Ts}{\int }_{\frac{T_s}{6}}^{\frac{T_s}{3}}\sqrt{2}{I}_{rms}sin(2\pi ft)dt=\frac{3\sqrt{2}{I}_{rms}}{\pi }$$
因此副边单相电流的有效值为：
$$I_{rms}=\frac{\pi }{3\sqrt{2}}{I}_o$$
最终可得到副单相电流波形为：
$$i(t)=\frac{\pi }{3}{I}_{o}sin(2\pi ft+\theta )$$
等效负载计算：
$$R_{eq}=\frac{V_{o\_base}}{I_{o\_base}}=\frac{6R_{Ld}}{{\pi }^2}$$

$$R_{ac}=\frac{6n^2{R}_{Ld}}{{\pi }^2}$$

增益分析

通过单相LLC分析，其增益计算公式为：
$$G=\frac{V_{out}}{V_{in}}=\frac{sLm//Rac}{\frac{1}{sCr}+sLr+sLm//Rac}$$
这里对计算化简过程进行省略，详情查看LLC谐振电路增益公式推导

最终得到增益公式为：
$$G=\frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{X}-X{)}^2\ast Q^2+(\frac{1}{K}+1-\frac{1}{X^2\ast K}{)}^2}}$$
其中
$$品质因数：Q=\frac{2\ast \pi \ast f_r\ast Lr}{Rac}=\frac{2\ast {\pi }^3\ast f_r\ast Lr}{5n^2{R}_{Ld}}$$

$$归一化频率：X=\frac{f_s}{f_r}$$

$$电感比：K=\frac{Lm}{Lr}$$

又由于传统单相LLC等效交流负载为：
$$R_{ac}=\frac{8n^2{R}_{Ld}}{{\pi }^2}$$
因此三相LLC相较与传统单相LLC，相同谐振参数下其品质因素提高。品质因素提高后，对变换器而言，会带来几点变化。

1. 相同负载下，增益会降低。

误差分析

通过计算得到的基波分析增益表达式，为了验证其准确性，特意对其进行仿真对比试验。发现其在远离谐振点处增益相差较大。同时在欠谐振状态下，基波增益小于仿真增益，在过谐振状态下，基波增益大于仿真增益。

这里引入思考，我们在进行大功率宽范围LLC设计的时候，是否可以使用基波分析法进行初步设计？由于对于增益设计的要求是宽范围，通过上图可以看到，基波分析的增益范围是小于实际的增益的，如果基波增益可以满足设计要求，其实际增益也能满足。因此对于初步设计是可以满足要求的。