再探动态规划--背包问题

背包问题常见类型：

动态规划问题核心就两个：状态转移方程和遍历顺序

• 如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
• 如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
  状态转移方程是动态规划问题中的核心，它描述了问题的最优子结构，即当前问题的解与子问题的解之间的关系。

1. 组合问题：
   • 问题描述：从一组元素中选择若干个元素组成一个组合，满足特定的条件。
   • ！！！如果排列组合都列出来的话，只能使用回溯算法爆搜。
   • 状态表示：通常使用二维数组dp[i][j]，其中i表示考虑前i个元素，j表示目标值。
   • 状态转移方程：
     其中，dp[i-1][j]表示不选择第i个元素，dp[i-1][j-nums[i]]表示选择第i个元素。
     例子：（力扣518题兑硬币组合数）

class Solution:
    def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:
        #动态规划 
        dp = [0]*(amount+1) #+1是考虑初始也算一种合法情况
        dp[0] = 1   **#组合问题常常初始状态为1 （即也算一种情况）这样才有数值基础**
        for coin in coins:
            for i in range(coin,amount+1): **#从coin开始遍历确保可以重复使用**
                dp[i] = dp[i] + dp[i-coin]
        return dp[amount]

1. True、False问题（布尔型动态规划）：

   • 问题描述：问题的解可以用True或False表示，通常用于判断某种条件是否成立。
   • 状态表示：通常使用二维数组dp[i][j]，其中i表示考虑前i个元素，j表示某种状态（例如是否匹配）。
   • 状态转移方程：

     

     其中，dp[i-1][j]表示不选择第i个元素，dp[i-1][j-something]表示选择第i个元素，其中something表示某种条件。

2. 最大最小问题：

   • 问题描述：寻找一组元素中的最大值或最小值，通常是在满足一些条件的情况下。
   • 状态表示：通常使用一维数组dp[i]，其中i表示考虑前i个元素。
   • 状态转移方程：

     

     其中，max/min表示取最大值或最小值。

背包问题解题步骤：

1. 问题分类：

   • 判断是否为背包问题。
   • 区分三种典型背包问题类型：0-1背包、完全背包、多重背包。

2. 具体问题分析：

   • 判断是0-1背包问题还是完全背包问题，即是否允许重复使用数组中的元素。
   • 对于组合问题，考虑元素之间的顺序，决定遍历的顺序。

背包问题特征：

• 给定目标值（target）和一个数组（nums），目标是利用数组中的元素进行排列组合，使其得到目标值。

背包问题技巧：

1. 0-1背包问题：
   • 元素不可重复使用。
   • 外循环遍历数组（nums），内循环从目标值（target）开始递减。

for num in nums:
    for i in range(target, num-1, -1):
#关于逆序问题  (所以一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维其实是有很大差异的 参考：[https://programmercarl.com/%E8%83%8C%E5%8C%85%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%8001%E8%83%8C%E5%8C%85-2.html#%E6%80%9D%E8%B7%AF]() )
    不是所有的0-1背包问题都需要逆序遍历，但逆序遍历是一种常见的做法，特别是在动态规划中，它有助于确保每个物品只被考虑一次。

    逆序遍历的原因是为了保证在更新状态时，不会影响当前状态之后的计算。具体来说，如果我们正序遍历，当考虑第i个物品时，可能会用到第i-1个物品的状态，而如果正序遍 
     历，第i-1个物品的状态可能已经被当前循环更新过，导致结果错误。

    逆序遍历的循环结构通常是这样的：
  
    ```python
    for i in range(target, num-1, -1):
        # 在这里进行状态更新和决策
    ```

    在这个循环中，我们从目标值（target）开始递减，逐步考虑每个可能的背包容量，确保在更新状态时不会影响之后的状态。

1. 完全背包问题：
   • 元素可重复使用。
   • 外循环遍历数组（nums），内循环从目标值（target）开始递增。

for num in nums: 

    for i in range(num, target+1):

1. 组合问题考虑元素顺序：
   • 目标值放在外循环，数组放在内循环。

for i in range(1, target+1): 
    for num in nums:

代码示例：

class Solution:
    def combinationSum4(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        if not nums:
            return 0
        dp = [0] * (target+1)
        dp[0] = 1
        for i in range(1, target+1):
            for num in nums:
                if i >= num:
                    dp[i] += dp[i-num]
        return dp[target]