nflsoi 8.2 题解

C.#15563 ab串字典序 / AT_abc202_d aab aba baa

题意

请你求出由 $A$ 个 a 和 $B$ 个 b 组成的长度为 $A+B$ 的字符串中，按字典序排列后的第 $K$ 个字符串。

$1\le A,B\le 30$。

思路

最多有 $2^{60}$ 种字符串，肯定不能一个一个枚举了。我们考虑在 $1\sim A+B$ 位中填入恰当的 a 和 b 使字典序恰为 $K$。

dfs 决策一位填 a 还是填 b：我们发现填 b 会使字符串的字典序变大！

对于前面 $t-1$ 位全部相同，还有 $A_0$ 个 a 和 $B_0$ 个 b 可以填。$t\sim A+B$ 位字符串 a (A0-1)×a (B0-1)×b 和 b A0×a (B0-1)×b 这两个字符串，字典序会相差“$A_0-1$ 个 a 和 $B_0$ 个 b 全排的不同方案数”。

因此填 b 升高那么多字典序，这个差值可以 dp 计数算出来：设 $f_{i,j}$ 表示 $i$ 个 a 和 $j$ 个 b 全排的不同方案数，有转移：
$$\begin{array}{c}{f}_{i,j}\leftarrow f_{i-1,j}(i>0)\\ f_{i,j}\leftarrow f_{i,j-1}(j>0)\end{array}$$

初始化 $f_{0,0}=1$。

如果出现 a 或者 b 用完的情况，后面全部填其他字母即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll N=33;
ll a,b,t;
string lh[2][N];
ll f[N][N];
string dfs(ll rest,ll tota,ll totb)
{if(tota==0)return lh[1][totb];if(totb==0)return lh[0][tota];if(rest>f[tota-1][totb])return 'b'+dfs(rest-f[tota-1][totb],tota,totb-1);return 'a'+dfs(rest,tota-1,totb);//放b可以升高字典序 
}
int main()
{scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&t);f[0][0]=1;for(int i=0;i<=a;i++){for(int j=0;j<=b;j++){if(i)f[i][j]+=f[i-1][j];if(j)f[i][j]+=f[i][j-1];}}for(int i=1;i<=a;i++)lh[0][i]=lh[0][i-1]+'a';for(int i=1;i<=b;i++)lh[1][i]=lh[1][i-1]+'b';cout<<dfs(t,a,b);return 0;
}

D.#15528 复合函数查询 / AT_abc196_e Filters

题目传送门

感觉这题挺无脑的，是计算答案的上下界，然后搞一个加法的 $tag$，最后对询问的 $x+tag$ 然后限制在上下界之间——简洁优美！

机房好多人做出来，好厉害。不过我暴力都有 85pts 的。。。

E.#4940 数对数字和 / AT_arc158_c All Pair Digit Sums

题意

对于正整数 $x$，记其各位数字之和为 $f(x)$。例如，$f(158)=1+5+8=14$，$f(2023)=2+0+2+3=7$，$f(1)=1$。

给定一个正整数序列 $a=(a_1,a_2,\dots ,a_N)$，请计算 $\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^{N}f(a_i+a_j)$ 的值。

$1\le N\le 2\times 10^5$，$1\le a_i<10^{15}$。

思路

感觉没法从 $O(n^2)$ 暴力去优化，数字和和数字本身没什么特别的关联。于是考虑把 $a_i+a_j$ 拆开。

根据小学奥数知识，如果两个数加法过程中，没有发生进位，结果的数字和就是两数数字和相加。否则每进一次位数字和就 $-9$。

比如 $58+47$，$8+7$ 进一次位，$1+5+4$ 进一次位；$f(105)=6=f(58)+f(47)-2\times 9$。

那么答案变成：
$$\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^{N}f(a_i)+f(a_j)-9z(a_i,a_j)$$

$$=2n\sum _{i=1}^{n}f(a_i)-9\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^{N}z(a_i,a_j)$$

其中 $z(x,y)$ 表示 $x+y$ 过程中发生进位的次数。

减号左边 $O(15n)$ 内随便算，问题还是在进位次数怎么算。

• 两个 $n$ 位数相加，最多发生 $n$ 次进位；
• $1\le a_i<10^{15}$。

$a_i$ 再大顶天就 $15$ 位，我们对于所有数对我们可以分别考虑 $1\sim 15$ 位上是否发生进位。

如果我们对每个数按位拆开，不仅还是 $O(n^2)$，而且还要考虑低位会不会进个 $1$ 过来。

对于枚举的第 $t$ 位，我们不妨记录每个数的末 $t$ 位：记 $b_{t,i}$ 表示 $a_i$ 的末 $t$ 位，存在 $a_j$ 和 $a_i$ 相加可以在 $t$ 进位，当且仅当 $b_{t,j}+b_{t,i}\ge 10^{t+1}$，即 $j$ 要满足 $b_{t,j}\ge 10^{t+1}-b_{t,i}$。我们对 $b_t$ 数组排序，容易用二分 lower_bound 计算合法的 $j$ 的个数。

ans=ans*2*n;
ll ws=1;
for(int t=1;t<=15;t++)
{ws*=10;//10^{t+1}sort(b[t]+1,b[t]+n+1);for(int i=1;i<=n;i++){ll minus=n-(lower_bound(b[t]+1,b[t]+n+1,ws-b[t][i])-b[t])+1;//查大于等于10^{t+1}-b[t][i]的个数minusans-=9*minus;//ai+aj过程中第t为进位次数 }
}

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll N=2e5+9;
ll n,a[N];
ll b[17][N];
ll cal(ll x)
{ll ret=0;while(x){ret+=x%10;x/=10;}return ret;
}
int main()
{scanf("%lld",&n);ll ans=0;for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&a[i]);ans+=cal(a[i]);ll x=a[i],ws=1;for(int t=1;t<=15;t++){ws*=10;b[t][i]=x%ws;}}ans=ans*2*n;ll ws=1;for(int t=1;t<=15;t++){ws*=10;sort(b[t]+1,b[t]+n+1);for(int i=1;i<=n;i++){ll minus=n-(lower_bound(b[t]+1,b[t]+n+1,ws-b[t][i])-b[t])+1;//查大于等于10^{t+1}-b[t][i]的个数，b[j]单调 ans-=9*minus;//ai+aj过程中第t为进位次数 }}printf("%lld",ans);return 0;
}

F.#4548 树上游戏 / 洛谷 P10641 BZOJ3252 攻略

题意

给定一个有 $n$ 个结点的树，树有点权且点权为正整数。现选取 $k$ 条从根结点出发到叶子结点的简单路径，求这些路径的并集上所有结点的点权之和的最大值。

$1\le n\le 2\times 10^5$，$1\le w_i\le 2^{31}-1$。

思路

这就很树剖啊。

我们定义重儿子为链长更长的，然后把树给剖开成一条条链——因为走过的贡献不重复算。这样剖肯定能把树剖完。

然后我们把所有链长搞下来从大到小排序，取前 $k$ 大即可。

多测记得清空。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll N=1e5+9;
int T,n,k;
ll a[N];
vector<int>G[N];
bool nolt[N];
int big[N];
ll lng[N];
void dfs(ll u,ll fa)//长剖 
{for(auto v:G[u]){if(v==fa)continue;dfs(v,u);if(lng[v]>lng[big[u]])big[u]=v;}lng[u]=lng[big[u]]+a[u];
}
int tot;
ll b[N];
bool cmp(ll x,ll y)
{return x>y;
}
void clean()
{tot=0;for(int i=1;i<=n;i++){nolt[i]=big[i]=lng[i]=0;G[i].clear(); }
}
int main()
{scanf("%d",&T);int tick=0;while(T--){tick++;clean();scanf("%d%d",&n,&k);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);for(int i=1;i<n;i++){int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);G[u].push_back(v);G[v].push_back(u);}dfs(1,0);/*	cout<<"?剖:\n";for(ll u=1;u<=n;u++)cout<<big[u]<<" "<<lng[u]<<endl;*/for(int i=1;i<=n;i++)nolt[big[i]]=1;for(int i=1;i<=n;i++)if(!nolt[i])b[++tot]=lng[i];sort(b+1,b+tot+1,cmp);ll ans=0;for(int i=1;i<=min(tot,k);i++)ans+=b[i];printf("Case #%d: %lld\n",tick,ans);clean();}return 0;
}