【递归完全搜索】USACO Bronze 2023 January - 牛栏降温 IIAir Cownditioning II

题目描述

由于今年夏天农场经历了有记录以来最热的夏天，农夫 John 需要给奶牛降温。于是他决定投资一些空调设备。

农夫 John 有 $N$ 头奶牛（$1\le N\le 20$），它们生活在一排连续的牛栏里，牛栏编号为 $1$ 到 $100$。第 $i$ 头奶牛占据从牛栏 $s_i$ 到牛栏 $t_i$ 的区间。不同奶牛占据的区间是不重叠的。

不同奶牛对降温的需求不同，第 $i$ 头奶牛必须被降温至少 $c_i$ 单位，也就是说，第 $i$ 头奶牛占据的每个牛栏的温度都必须至少降低 $c_i$ 单位。

农场有 $M$ 台空调，编号为 $1$ 到 $M$（$1\le M\le 10$）。第 $i$ 台空调的运行成本是 $m_i$（$1\le m_i\le 1000$），它可以降温从牛栏 $a_i$ 到牛栏 $b_i$ 的区间。第 $i$ 台空调能将它覆盖区间内的所有牛栏温度降低 $p_i$ 单位（$1\le p_i\le 10^6$）。空调覆盖的区间可以相互重叠。

农场的运营成本很高，所以农夫 John 有预算限制。请你计算出使所有奶牛降温要求都得到满足的情况下，最小需要花费多少钱。

保证：如果开启所有空调，所有奶牛的需求一定能够满足。

输入格式

第一行：两个整数 $N$ 和 $M$。

接下来 $N$ 行：每行三个整数 $s_i,t_i,c_i$，表示第 $i$ 头奶牛占据的牛栏区间和降温需求。

接下来 $M$ 行：每行四个整数 $a_i,b_i,p_i,m_i$，表示第 $i$ 台空调的覆盖区间、降温能力和运行成本。

输出格式

输出一个整数，表示满足所有奶牛降温需求的最低花费。

样例输入

2 4
1 5 2
7 9 3
2 9 2 3
1 6 2 8
1 2 4 2
6 9 1 5

样例输出

10

样例说明

一种花费最少的方案是选择降温区间为 $[2,9]$、$[1,2]$ 和 $[6,9]$ 的空调，它们的成本分别是 $3$、$2$、$5$，总共 $10$，满足了所有奶牛的降温要求。

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Air Cownditioning II

思路分析

🔍 核心思想：完全搜索 + 模拟验证

由于空调数量 $M\le 10$，所以空调的组合总数最多为 $2^M=1024$，可以枚举所有可能的开关状态进行暴力搜索。

✅ 步骤总结如下

1. 步骤 $1$：枚举空调组合

   使用 位运算/二进制掩码（bitmask） 来表示空调的使用状态。共 $2^M$ 种空调使用方案，逐一遍历。

2. 步骤 $2$：模拟该组合的降温效果

   使用一个数组 range[1..100] 表示每个牛栏的总降温量。对于每一台开启的空调，将其降温效果 $p_i$ 累加到其作用区间 $[a_i,b_i]$ 内的每个牛栏上。

3. 步骤 3：检查是否满足所有奶牛需求

   遍历所有奶牛，对于每头奶牛占据的区间 $[s_i,t_i]$：检查其区间内每一个牛栏是否降温达到了 $c_i$。如果有任一位置不满足，则当前方案不合法，跳过。

4. 步骤 $4$：更新最小成本

   如果当前组合合法，则记录其成本，更新全局最小值 min_cost。

🧮 时间复杂度分析

枚举空调状态：$2^M$（最多 1024 种）

每个状态内：

• 更新降温范围：$\mathcal{O}(M\cdot \text{区间长度})$

• 验证所有奶牛：$\mathcal{O}(N\cdot \text{牛栏长度})$

最大范围不超过 $[1,100]$，所以总体复杂度大约为：$O(2^M\cdot 100\cdot N)=O(1024\cdot 100\cdot 20)=2\times 10^6$

参考代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;struct cow{int si , ti , ci;  //范围为si~ti  降温至少ci
}a[29];struct air{int ai , bi , pi , mi;  //范围ai~bi  降温能力pi  运行成本mi
}b[19];int main()
{int n , m;cin >> n >> m;  //n头牛  m台空调for(int i = 0; i < n; i++)cin >> a[i].si >> a[i].ti >> a[i].ci;for(int i = 0; i < m; i++)cin >> b[i].ai >> b[i].bi >> b[i].pi >> b[i].mi;//枚举空调的使用情况int Mi = 1e9;for(int i = 0; i < (1 << m); i++){int cost = 0;vector<int>range(109);  //range[i]：i处降温多少for(int k = 0; k < m; k++){if(1 << k & i)  //第k台空调使用{cost += b[k].mi;  //花费累加for(int j = b[k].ai; j <= b[k].bi; j++)range[j] += b[k].pi;}}//判断每一头牛是否满足题意bool check = true;for(int j = 0; j < n; j++){for(int l = a[j].si; l <= a[j].ti; l++){if(range[l] < a[j].ci)check = false;}}if(check)Mi = min(Mi , cost);}cout << Mi;return 0;
}