BD202402跑步 线性求逆元 素数筛 数学

思路

参考 橙之夏 小码_205886 题解

• 设整个过程用时t，第i个人跑$\frac{t}{i}$圈
• 每个人在整数倍时回到起点，即$t=lcm(1,...,n)=l$时
• 假设$i<j$，两个人差了$\frac{t}{i}-\frac{t}{j}$圈，也是相遇的次数

快的人相对于慢的人的速度为$v_1-v_2$，相对路程为$(v_1-v_2)t$。
每相遇一次，相对路程增加$L$（1 圈），因此相遇次数为$\frac{(v_1-v_2)t}{L}=\frac{v_{1}t}{L}-\frac{v_{2}t}{L}=a-b$。

• 总招呼数${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=i+1}^n(\frac{l}{i}-\frac{l}{j})$
• 公式化简
  

$\frac{1}{i}$使用线性求逆元

void init(int n){//求线性逆元//递推法inv[1]=1;forr(i,2,n){inv[i]=(M-M/i)*inv[M%i]%M;}//利用阶乘求// fact[0]=1;// forr(i,1,n)fact[i]=1LL*fact[i-1]*i%M;// ifac[n]=qpow(fact[n]);// reforr(i,0,n-1)ifac[i]=1LL*ifac[i+1]*(i+1)%M;// forr(i,1,n)inv[i]=1LL*fact[i-1]*ifac[i]%M;
}

递推法推导

模m意义下，$i>1$时，设$m/i=k......r,k\cdot i+r\equiv 0(modm)$

• 两边乘$i^{-1}{r}^{-1},k\cdot r^{-1}+i^{-1}\equiv 0(modm)$
• 移项$$\begin{gathered} i^{-1}\equiv -k\cdot r^{-1}(modm) \\ {i}^{-1}\equiv (m-\frac{m}{i})\cdot r^{-1}(modm) \end{gathered}$$

质因子分解求lcm

//p[]是素数数组
int L=1;
forr(i,0,p.size()-1){//LCM(1,...,n)int c=0,tp=1;while (tp*p[i]<=n)tp*=p[i],c++;L=1LL*L*qpow(p[i],c)%M;
}

代码

const int N=1e7+10,M=998244353;
int fact[N],ifac[N],vis[N],inv[N];
vector<int>p;
//不会就学
int qpow(int x,int p=M-2,int mul=1)
{for (;p;p>>=1,x=1LL*x*x%M) if (p&1) mul=1LL*mul*x%M; return mul;
}
void init(int n){//求线性逆元inv[1]=1;forr(i,2,n){inv[i]=(M-M/i)*inv[M%i]%M;}//利用阶乘求// fact[0]=1;// forr(i,1,n)fact[i]=1LL*fact[i-1]*i%M;// ifac[n]=qpow(fact[n]);// reforr(i,0,n-1)ifac[i]=1LL*ifac[i+1]*(i+1)%M;// forr(i,1,n)inv[i]=1LL*fact[i-1]*ifac[i]%M;
}
void pfind(int n){vis[1]=vis[0]=1;forr(i,2,n){if(!vis[i]){p.push_back(i);}if(!p.empty())for(auto j:p){if(i*j>n)break;vis[i*j]=1;if(i%j==0)break;}}
}
void solve(){int n;cin>>n;init(n);int ans=0;forr(i,1,n){//(n-2i+1)*1/i// ans+=1LL*((n-2*i+1+M)%M)*inv[i]%M;//运算顺序错误 应该先乘再取模(ans+=1LL*inv[i]*(n-2*i+1+M)%M)%=M;}pfind(n);int L=1;forr(i,0,p.size()-1){//LCM(1,...,n)int c=0,tp=1;while (tp*p[i]<=n)tp*=p[i],c++;L=1LL*L*qpow(p[i],c)%M;}cout<<1LL*L*ans%M<<endl;}