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Do-Calculus：因果推断的演算基础与跨领域应用

news 2025/8/5 6:53:03

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一、核心定义与理论基础

Do-Calculus（Do演算） 由Judea Pearl于1995年提出，是结构因果模型（Structural Causal Model, SCM）的核心分析工具，旨在解决因果效应识别问题。其核心目标是将包含干预操作（如 $d o (X)$ ）的概率表达式转化为仅含观测数据的表达式，从而从非实验数据中估计因果效应。

原始论文出处：
Pearl, J. (1995). Causal Diagrams for Empirical Research. Biometrika, 82(4), 669–710.
DOI: 10.1093/biomet/82.4.669
可访问地址: escholarship.org/uc/item/6gv9n38c

该论文首次形式化定义了Do算子与三条推演规则，奠定了因果图模型的数学基础。Do算子 $\mid do(X))$ 表示“强制将变量 $X$ 取值设为 $x$ 时 $Y$ 的条件概率”，与传统条件概率 $\mid X)$ 的本质区别在于切断混杂因素的反向影响，仅保留 $\to Y$ 的因果路径。

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二、Do-Calculus的三条规则

三条规则基于因果图的拓扑结构，通过d-分离（d-separation）条件实现概率表达式转换。设 $G$ 为因果图， $GX‾G_{\overline{X}}$ 表示删除指向 $X$ 的所有边后的子图， $GX‾Z‾G_{\overline{X}\underline{Z}}$ 表示删除指向 $X$ 的边和从 $Z$ 指出的边后的子图。

规则1：增添或删除观测变量

若在 $GX‾G_{\overline{X}}$ 中满足 $\perp\!\!\!\perp Z \mid X, W)$ （即 $Y$ 和 $Z$ 在给定 $X, W$ 时d-分离），则：
$\mid do(X), Z, W) = P(Y \mid do(X), W)$
解释：当 $Z$ 不携带影响 $Y$ 的新信息时，可安全删除。

规则2：交换干预与观测

若在 $GX‾Z‾G_{\overline{X}\underline{Z}}$ 中满足 $\perp\!\!\!\perp Z \mid X, W)$ ，则：
$\mid do(X), do(Z), W) = P(Y \mid do(X), Z, W)$
解释：当 $Z$ 的干预等价于其观测值时，可将 $d o (Z)$ 降级为 $Z$ 。

规则3：增添或删除干预

若在 $GX‾Z(W)‾G_{\overline{X}\underline{Z(W)}}$ 中满足 $\perp\!\!\!\perp Z \mid X, W)$ ，则：
$\mid do(X), do(Z), W) = P(Y \mid do(X), W)$
其中 $\setminus \text{An}(W)_{G_{\overline{X}}}$ （ $An(W)\text{An}(W)$ 为 $W$ 的祖先节点集）。
解释：当 $Z$ 的干预不影响 $Y$ 时，可移除 $d o (Z)$ 。

表：Do-Calculus三条规则的应用条件与作用

规则	图修改要求	d-分离条件	表达式转化目标
规则1	删除指向 $X$ 的边	$\perp\!\!\!\perp Z \mid X, W$ in $GX‾G_{\overline{X}}$	移除观测变量 $Z$
规则2	删除指向 $X$ 和从 $Z$ 指出的边	$\perp\!\!\!\perp Z \mid X, W$ in $GX‾Z‾G_{\overline{X}\underline{Z}}$	将 $d o (Z)$ 降级为 $Z$
规则3	删除指向 $X$ 的边，并移除 $Z$ 中 $W$ 的祖先节点	$\perp\!\!\!\perp Z \mid X, W$ in $GX‾Z(W)‾G_{\overline{X}\underline{Z(W)}}$	移除干预变量 $d o (Z)$

三、完备性与可识别性

Do-Calculus的核心理论价值在于其完备性（Completeness）：

定理（Huang & Valtorta, 2006）：表达式 $\mid do(x), z)$ 是可识别的，当且仅当可通过三条规则转化为不含Do算子的形式。

可靠性（Soundness）：Pearl (1995) 证明若转化成功，则结果表达式等价于因果效应。
充分性（Sufficiency）：Huang & Valtorta (2006) 证明所有可识别模型均可用Do-Calculus处理。
此性质使Do-Calculus成为超越后门准则和前门准则的通用因果识别框架，能处理复杂混杂结构（如未观测混杂变量）。

四、应用案例与领域实践

1. 医学决策中的因果效应估计

在流行病学中，需估计治疗方案 $X$ 对疾病结局 $Y$ 的效应，但存在未观测基因混杂。通过Do-Calculus推导：
$\mid do(X)) = \sum_{Z} P(Y \mid X, Z) P(Z)$
其中 $Z$ 为可观测协变量。此式将干预效应转化为可估计的观测数据表达式，支持无偏因果推断。

2. 推荐系统的反事实推理

在因果协同过滤（CCF）模型中，Do-Calculus用于估计用户 $u$ 对物品 $v$ 的反事实偏好：
$\mid do(v), u) = \mathbb{E}_{h_{\text{cf}}} [P(y \mid u, v, h_{\text{cf}})]$
通过生成反事实交互历史 $hcfh_{\text{cf}}$ （如删除或替换历史行为），消除推荐偏差。

3. 多变量干预的因果路径分析

在中介分析中，量化治疗 $X$ 通过中介变量 $M$ 对 $Y$ 的间接效应：
$\mid do(X), do(M)) \xrightarrow{\text{规则2}} P(Y \mid do(X), M)$
再结合前门准则，分离直接与间接效应。

五、算法实现与工具

Do-Calculus的自动化实现依赖因果识别算法：

ID算法（Shpitser & Pearl, 2006）：处理多变量干预的完备算法。
Identify算法（Huang & Valtorta, 2006）：支持半马尔可夫模型的通用识别。

开源工具：

Ananke（Python）：集成ID算法，支持因果图建模与效应估计。
- 地址：gitlab.com/causal/ananke
causaleffect（R）：实现ID算法与IDC算法（处理条件干预）。
- 地址：CRAN.R-project.org/package=causaleffect
CEE（Golang）：高性能因果效应估计引擎，支持ID、IDC、Identify算法。
- 地址：github.com/L-F-Z/CEE