【高等数学】第七章 微分方程——第九节 欧拉方程

上一节：【高等数学】第七章 微分方程——第八节 常系数非齐次线性微分方程
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• 变系数的线性微分方程，一般说来都是不容易求解的. 但是有些特殊的变系数线性微分方程，则可以通过变量代换化为常系数线性微分方程，因而容易求解，欧拉方程就是其中的一种.
• 形如$$x^n{y}^{(n)}+p_1{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +p_{n-1}x{y}^{\prime }+p_{n}y=f(x)$$的方程(其中$p_1,p_2,\cdots ,p_n$为常数)，叫做欧拉方程.
• 解法
  当$x>0$时作变换$x={\mathrm{e}}^t$，即$t=\ln x$（当$x<0$时，作变换$x=-{\mathrm{e}}^t$，即$t=\ln (-x)$，结果类似）
  $$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}& =\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\\ \frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}& =\frac{1}{x^2}\left(\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)\\ \frac{{\mathrm{d}}^{3}y}{\mathrm{d}{x}^3}& =\frac{1}{x^3}\left(\frac{{\mathrm{d}}^{3}y}{\mathrm{d}{t}^3}-3\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}+2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)\end{array}$$
  如果采用记号$\text{D}$表示对$t$求导的运算$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$
  那么
  $$\begin{array}{rl}x{y}^{\prime }& =\text{D}y\\ x^2{y}^{\prime \prime }& =\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\left(\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{t}^2}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)y=({\text{D}}^2-\text{D})y=\text{D}(\text{D}-1)y\\ x^3{y}^{\prime \prime \prime }& =\frac{{\mathrm{d}}^{3}y}{\mathrm{d}{t}^3}-3\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}+2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=({\text{D}}^3-3{\text{D}}^2+2\text{D})y=\text{D}(\text{D}-1)(\text{D}-2)y\end{array}$$
  一般地，有
  $$x^k{y}^{(k)}=\text{D}(\text{D}-1)\cdots (\text{D}-k+1)y.$$
  把它代入欧拉方程，便得一个以$t$为自变量的常系数线性微分方程.
  在求出这个方程的解后，把$t$换成$\ln x$，即得原方程的解.

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