Lipschitz连续函数

Lipschitz function

一、说明

在数学分析中，Lipschitz连续性以德国 数学家 鲁道夫·利普希茨 (Rudolf Lipschitz)的名字命名，是函数一致连续性的强形式。直观地说，Lipschitz连续函数的变化速度有限：存在一个实数，使得对于该函数图上的每一对点，连接它们的直线斜率的绝对值不大于该实数；这样的最小边界称为该函数的Lipschitz常数（与一致连续模相关）。例如，每个定义在区间上且具有有界的一阶导数的函数都是Lipschitz连续的。

二、关于

2.1 定义

Lipschitz function函数f 如下
$$|f（x）-f（y）|<=C|x-y|$$
对于所有x 和y，其中C是与x和y无关的常数，称为利普希茨函数。

• 任何具有有界的一阶导数的函数必定是利普希茨函数。
  显然，所有的直线函数都是Lipschitz function函数。

• 利普希茨连续性并不是说你可以随便取任意的x和y，并绘制|f(x) - f(y)| ≤ M|x - y|。它说的是M是固定的，且不等式对所有x, y ∈ R都成立。
  这是一个更强的条件。如果你只需要为每个x和y选择一个M，那么这个条件将毫无意义。

2.2 一些讨论

① 二次抛物线函数不是Lipschitz函数
假如$y=x^2$
因为，对于等差序列$x_1，x_2，x_3\in R$，$0<x_1<x_2<x_3$,那么

$|y_1-y_2|=|x_1^2-x_2^2|<=C1|x_1-x_2|$
$|x_1+x_2|<=C1$
同样：
$|y_2-y_3|=|x_2^2-x_3^2|<=C1|x_2-x_3|$
$|x_2+x_3|<=C2$
显然$C_1<C_2$，即随着x的递增，C也是递增的
随着$x_1<x_2<x_3\to \infty$也有$C_{\infty }\to \infty$
也就是在函数的全定义域内，没有一个固定的C使的$|f（x）-f（y）|<=C|x-y|$

② 利普希茨连续且处处可微的函数
双曲函数：

对所有实数定义的是 Lipschitz 连续的，且 Lipschitz 常数K = 1，因为它处处可微，且导数的绝对值在 1 以上有界。请参阅下面“属性”下列出的第一个属性。

③ Lipschitz 连续函数并非处处可微
函数
$f(x)=|x|$
是在实数上定义的范数是Lipschitz连续的，Lipschitz常数等于1，由反三角不等式定义。更一般地，向量空间上的范数关于相关度量是Lipschitz连续的，Lipschitz常数等于1。
，注意：在x=0处不可微。

④处处可微但非连续可微的 Lipschitz 连续函数
函数

其导数存在，但在$x=0$不能连续

三、综合

如果你的函数是可微的，Lipschitz 连续性只是说这个函数的导数是有界的。我认为这是对“抖动”和“拉伸”的限制。
或者拉伸，它说一个函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 不能增长得太快。例如，如果Lipschitz常数是1且(f(0)=0)，那么它被夹在两条直线 (y=x) 和 (y=-x) 之间。这基本上意味着它不能增长得过快，也不能摇摆太多。
如果常数 M 小于 1，那么这个函数被称为收缩函数，它具有许多良好的性质。