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A∗算法（A-star algorithm）一种在路径规划和图搜索中广泛使用的启发式搜索算法

news 2025/8/2 10:08:54

$A *$ 算法（A-star algorithm）是一种在路径规划和图搜索中广泛使用的启发式搜索算法，它结合了Dijkstra算法的广度优先搜索思想和启发式算法的效率优势，能够高效地找到从起点到终点的最短路径。

A*算法的核心是通过估计代价来指导搜索方向，从而减少不必要的搜索范围，提高搜索效率。它使用两个主要的代价函数：

A算法的关键是定义一个总代价函数：
$f (n) = g (n) + h (n)$
其中， $f (n)$ 表示从起点经过节点 $n$ 到达目标节点的总估计代价。A算法会优先选择 $f (n)$ 值最小的节点进行扩展。

A*算法的执行过程如下：

初始化：
- 将起点 $S$ 放入开放列表（Open List），开放列表用于存储待处理的节点。
- 初始化闭合列表（Closed List）为空，闭合列表用于存储已经处理过的节点。
循环：
- 从开放列表中选择 $f (n)$ 值最小的节点 $n$ ，将其从开放列表中移除，并加入闭合列表。
- 如果节点 $n$ 是目标节点，则算法结束，通过回溯父节点来构造路径。
- 如果节点 $n$ 不是目标节点，则对节点 $n$ 的所有相邻节点进行扩展：
  - 对于每个相邻节点 $m$ ：
    - 如果 $m$ 不可通行（例如障碍物），则跳过。
    - 如果 $m$ 已经在闭合列表中，则跳过。
    - 如果 $m$ 不在开放列表中，则将其加入开放列表，并设置 $m$ 的父节点为 $n$ ，计算 $m$ 的 $g (m)$ 、 $h (m)$ 和 $f (m)$ 。
    - 如果 $m$ 已经在开放列表中，但通过当前节点 $n$ 到达 $m$ 的代价 $g (m)$ 更小，则更新 $m$ 的父节点为 $n$ ，并重新计算 $m$ 的 $g (m)$ 和 $f (m)$ 。
终止条件：
- 如果找到目标节点，则算法成功，通过回溯父节点构造路径。
- 如果开放列表为空且未找到目标节点，则算法失败，表示无路径可达。

启发式函数 $h (n)$ 是A*算法的关键部分，它决定了算法的效率和准确性。启发式函数的选择需要满足以下条件：

可接受性（Admissibility）： $h (n)$ 不能高估从节点 $n$ 到目标节点的实际代价，即 $\leq h^*(n)$ ，其中 $h^*(n)$ 是从 $n$ 到目标节点的实际代价。
一致性（Consistency）：对于任意相邻节点 $n$ 和 $m$ ，有 $\leq d(n, m) + h(m)$ ，其中 $d (n, m)$ 是从 $n$ 到 $m$ 的实际代价。

常见的启发式函数包括：

欧几里得距离（Euclidean Distance）：适用于连续空间，计算公式为 $\sqrt{(x_n - x_g)^2 + (y_n - y_g)^2}$ ，其中 $x_n, y_n)$ 和 $x_g, y_g)$ 分别是节点 $n$ 和目标节点的坐标。
曼哈顿距离（Manhattan Distance）：适用于网格地图，计算公式为 $h(n) = |x_n - x_g| + |y_n - y_g|$ 。
切比雪夫距离（Chebyshev Distance）：适用于网格地图，允许对角线移动，计算公式为 $h(n) = \max(|x_n - x_g|, |y_n - y_g|)$ 。