洛谷P4479第K大斜率

P4479第K大斜率
我采用了二分答案和树状数组统计顺序对的方法解决第k大斜率问题。以下是对代码思路的总结和关键点分析：

代码思路总结：

1. 输入与预处理：

   • 读入 n 个点的坐标，存储到数组 arr 中。
   • 对点按 x 坐标升序排序，若 x 相同则按 y 降序排序（避免斜率不存在的点对影响统计）。

2. 二分答案框架：

   • 二分斜率 mid，初始范围 [-1e9, 1e9]。
   • 对于每个 mid，通过 check(mid) 函数判断是否存在至少 k 条直线的斜率 ≥ mid。

3. check(mid) 函数：

   • 计算转换值：对每个点计算转换值 z_i = y_i - mid * x_i。
   • 离散化：将 z_i 排序并离散化为排名（相同值赋予相同排名）。
   • 树状数组统计顺序对：
     • 按原顺序（排序后的点顺序）遍历每个点。
     • 查询树状数组中排名 ≤ 当前点排名的点的个数（即满足 z_j ≥ z_i 且 j < i 的点对数）。
     • 累加顺序对数量，若累计值 ≥ k 则返回 true。
     • 更新树状数组（当前点排名位置 +1）。
   • 若遍历结束累计值 < k，返回 false。

4. 二分调整：

   • 若 check(mid) 为 true，说明 mid 偏小（有足够多斜率 ≥ mid 的直线），调整左边界 l = mid。
   • 若为 false，说明 mid 偏大，调整右边界 r = mid。
   • 最终 l 即为第 k 大斜率的向下取整结果。

5. 输出：二分结束后输出 l。

关键点分析：

• 避免斜率不存在：通过排序策略（x 相同时 y 降序）确保 x 相同的点不会产生有效顺序对（因 z_i 严格递减），从而排除斜率不存在的点对。
• 离散化优化：将 z_i 离散化为排名，将值域压缩到 [1, n]，适合树状数组处理。
• 顺序对统计：树状数组动态维护已遍历点的排名分布，高效查询当前点的顺序对数量。
• 二分正确性：二分目标为最大的 mid 满足至少 k 条直线斜率 ≥ mid，该 mid 即第 k 大斜率的向下取整值。
• 复杂度：二分过程 O(log(2e9))，每次 check 离散化 O(n log n)，树状数组操作 O(n log n)，总复杂度 O(n log n log(2e9))，可接受。

代码优化建议：

1. 提前退出优化：在 check 函数中，一旦累计顺序对数量 ≥ k 即可提前返回 true，减少无效计算。
2. 树状数组清零：每次 check 前通过初始化保证树状数组归零，避免脏数据。
3. 离散化处理：对相同 z_i 赋予相同排名，确保顺序对统计正确性。

代码处理了边界情况（如大值域、斜率不存在、重复 z_i 等），能高效解决大规模数据问题。最终输出向下取整结果符合题目要求。

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define samplepassediscorrect for(;;)
#define ull unsigned long long
#define jiasu ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define N 100050
using namespace std;
struct point{ll x,y;
}arr[N]; 
bool cmp(point &s1,point &s2){if(s1.x==s2.x) return s1.y>s2.y;return s1.x<s2.x;
}
ll n,b[N],k;
struct Fenwick_Tree{ll tree[N]={0};void update(ll x,ll d){while(x<=n){tree[x]+=d;x+=lowbit(x);}}ll sum(ll x){ll ans=0;while(x>0){ans+=tree[x];x-=lowbit(x);}return ans;}
}; 
struct temp{ll x,num;
}a[N];
bool cmp2(temp &s1,temp &s2){return s1.x<s2.x;}
bool check(ll mid){for(int i=1;i<=n;i++){a[i].num=i;a[i].x=arr[i].y-mid*arr[i].x;}sort(a+1,a+1+n,cmp2);b[a[1].num]=1;ll now=a[1].x,cnt=1;for(int i=2;i<=n;i++){if(a[i].x!=now){b[a[i].num]=++cnt;now=a[i].x;}else b[a[i].num]=cnt;}Fenwick_Tree r;ll sum=0;for(int i=1;i<=n;i++){		sum+=r.sum(b[i]);r.update(b[i],1);if(sum>=k) return true;}	return false;
}
int main(){
jiasu;
cin>>n>>k;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>arr[i].x>>arr[i].y;
sort(arr+1,arr+1+n,cmp);
ll l=-1e9,r=1e9;
while(l+1<r){ll mid=(l+r)/2;if(check(mid)) l=mid;else r=mid;
}
cout<<l;return 0;
}