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MOEA/DD（多目标进化算法基于分解）简介

news 2025/8/3 4:43:05

前言

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文章目录

前言
- 1. 多目标优化问题的定义
- 2. Pareto最优解
- 3. 分解策略
- - 3.1 权重向量的生成
  - 3.2 单目标子问题的定义
  - 3.3 理想解与适应度评估
- 4. 算法步骤
- - 4.1 种群初始化
  - 4.2 适应度计算
  - 4.3 选择、交叉与变异
  - 4.4 更新种群
  - 4.5 终止条件
- 5. 数学公式总结
- 6. 优势与应用
- - 优势
  - 应用
- 7. 总结

MOEA/DD（多目标进化算法基于分解）是一种先进的多目标优化算法，通过将多目标优化问题分解为多个单目标子问题来有效解决复杂的优化任务。以下是MOEA/DD的详细介绍，包括其基本原理、算法步骤以及相关数学公式。

图片引用于《Qualitative analysis in many-objective optimization with visualization methods》

1. 多目标优化问题的定义

多目标优化问题可以表示为：

$min⁡f(x)=[f1(x),f2(x),…,fm(x)]\min \mathbf{f}(\mathbf{x}) = [f_1(\mathbf{x}), f_2(\mathbf{x}), \ldots, f_m(\mathbf{x})]$

其中， $x\mathbf{x}$ 是决策变量向量， $fi(x)f_i(\mathbf{x})$ 表示第 $i$ 个目标函数，而 $m$ 是目标数量。

2. Pareto最优解

在多目标优化中，解的优劣通常通过Pareto最优解来描述。一个解 $xA\mathbf{x}^A$ 被称为Pareto优于另一个解 $xB\mathbf{x}^B$ ，如果满足以下条件：

$jf_i(\mathbf{x}^A) \leq f_i(\mathbf{x}^B) \quad \text{for all } i \quad \text{and} \quad f_j(\mathbf{x}^A) < f_j(\mathbf{x}^B) \quad \text{for at least one } j$

3. 分解策略

MOEA/DD的核心思想是将多目标优化问题分解为多个单目标子问题。

3.1 权重向量的生成

为了将多目标问题分解为多个单目标问题，MOEA/DD生成权重向量 $wi\mathbf{w}_i$ ，每个权重向量对应一个单目标子问题。权重向量 $wi\mathbf{w}_i$ 可以表示为：

$wi=[wi1,wi2,…,wim]\mathbf{w}_i = [w_{i1}, w_{i2}, \ldots, w_{im}]$

这些权重向量通常在单位超平面上均匀分布，满足：

$∑j=1mwij=1且wij≥0\sum_{j=1}^{m} w_{ij} = 1 \quad \text{且} \quad w_{ij} \geq 0$

3.2 单目标子问题的定义

通过权重向量，MOEA/DD将多目标优化问题转化为多个单目标子问题。对于第 $i$ 个子问题，可以定义如下的目标函数：

$gi(x)=wiTf(x)=∑j=1mwijfj(x)g_i(\mathbf{x}) = \mathbf{w}_i^T \mathbf{f}(\mathbf{x}) = \sum_{j=1}^{m} w_{ij} f_j(\mathbf{x})$

每个子问题 $gi(x)g_i(\mathbf{x})$ 表示在特定权重组合下的目标函数。

3.3 理想解与适应度评估

在计算适应度时，MOEA/DD使用每个个体的目标值与理想值之间的差异。理想解 $f^*_j$ 是指目标函数的最优值，适应度可以表示为：

$Fitness(x)=∑j=1m(fj(x)−fj∗)2\text{Fitness}(\mathbf{x}) = \sum_{j=1}^{m} (f_j(\mathbf{x}) - f^*_j)^2$

这里，适应度用于评估个体在种群中的优劣。

4. 算法步骤

MOEA/DD的基本步骤如下：

4.1 种群初始化

随机初始化种群 $P\mathbf{P}$ 并生成相应的权重向量 $wi\mathbf{w}_i$ 。

4.2 适应度计算

对于种群中的每个个体 $x\mathbf{x}$ ，计算其目标值 $f(x)\mathbf{f}(\mathbf{x})$ 和各个子问题的适应度 $gi(x)g_i(\mathbf{x})$ 。

4.3 选择、交叉与变异

选择：根据适应度选择个体。可以使用轮盘赌选择、锦标赛选择等。
交叉：通过交叉操作生成新个体，常用方法包括模拟二进制交叉（SBX）等。
变异：对新个体进行变异，以增强种群的多样性。

4.4 更新种群

将新生成的个体与当前种群结合，根据适应度选择保留的个体。

4.5 终止条件

算法的终止条件可以是达到最大代数、找到的解的改进小于预设阈值，或者种群中的解之间的差异小于某一阈值。

5. 数学公式总结

在MOEA/DD中，涉及的主要数学公式包括：

目标函数：
$f(x)=[f1(x),f2(x),…,fm(x)]\mathbf{f}(\mathbf{x}) = [f_1(\mathbf{x}), f_2(\mathbf{x}), \ldots, f_m(\mathbf{x})]$
单目标子问题：
$gi(x)=wiTf(x)=∑j=1mwijfj(x)g_i(\mathbf{x}) = \mathbf{w}_i^T \mathbf{f}(\mathbf{x}) = \sum_{j=1}^{m} w_{ij} f_j(\mathbf{x})$
适应度评估：
$Fitness(x)=∑j=1m(fj(x)−fj∗)2\text{Fitness}(\mathbf{x}) = \sum_{j=1}^{m} (f_j(\mathbf{x}) - f^*_j)^2$