【LGR-234-Div.3】洛谷网校 7 月 CSP-J 模拟月赛 Cfz Round 6 「Cfz Round 6」Imaichi
题目重现
原题链接
题目背景
わがままで生きるくらいが ちょうどいい
随心任性而活 这样就好
笑っていたい いまいちでもいい
我想要微笑 就算不够完美也好
题目描述
Yuki 喜欢旅行。不过她是个宅女，所以她打算在提瓦特大陆旅行。
提瓦特大陆可以被看做一个n行 m 列的方格图，每个方格内都有一个整数 ai,j。我们用(i,j)表示第 i 行第 j 列的方格。
初始时，Yuki 有s个摩拉。她会从方格图的第1行选择一个方格作为旅程起点，开始她的旅程。
接下来，Yuki 可以进行若干次移动：
- 如果 Yuki 位于方格图的前 (n−1) 行，则她可以移动到她左侧（如果存在）、右侧（如果存在）、下侧的方格；
- 如果 Yuki 位于方格图的第 n 行，则她不可以再移动。
每次移动后，Yuki 的摩拉数量都会根据她当前位于的方格而变化。具体地，设Yuki移动后位于的方格为 (i,j)，则她的摩拉数量会发生如下的变化：
- 如果 ai,j>0，则Yuki的摩拉数量会增加ai,j；
- 如果 ai,j<0，则Yuki的摩拉数量会减少∣ai,j∣，即减少−ai,j；
- 如果 ai,j=0，则Yuki的摩拉数量不会发生变化。
Yuki可以重复经过同一个方格，并且在她每次经过某个方格时，她的摩拉数量都会变化。
如果在某次移动后，Yuki的摩拉数量变成了负数，则她会被拘留，不可以再移动。
特殊地，Yuki初始位于旅程起点时，她的摩拉数量也会根据她当前位于的方格而变化。同时，由于Yuki的背包大小有限，如果在某次移动后，她的摩拉数量大于k，则她的摩拉数量会变为k。
如果Yuki到达了方格图的第n行且Yuki 的摩拉数量不为负数，则我们称Yuki完成了她的旅程。
你需要帮助 Yuki 判断，她是否可以完成她的旅程；如果可以，你还需要求出，在她完成她的旅程后，她的摩拉数量的最大值。
输入格式
本题有多组测试数据。
第一行包含两个整数c,T，分别表示测试点编号和测试数据组数。样例满足c=0。
接下来依次输入每组测试数据。对于每组测试数据：
- 第一行包含四个整数n,m,s,k。
- 接下来n行，每行包含m个整数，其中第i行的第j个整数表示ai,j。
输出格式
对于每组测试数据，输出一行，包含一个整数：
- 如果Yuki可以完成她的旅程，则输出在她完成她的旅程后，她的摩拉数量的最大值；
- 如果Yuki不可以完成她的旅程，则输出−1。
输入输出样例
输入
0 2 3 3 1 5 2 -1 0 -3 -1 -1 -1 1 -2 2 3 1 3 -3 1 -1 0 -3 -2
输出
4 -1
说明/提示
样例 1 解释
对于第 1 组测试数据：
- 其中一种满足要求的移动路线为：(1,1)→(1,2)→(1,1)→(1,2)→(1,1)→(1,2)→(2,2)→(3,2)；
- 在移动过程中，Yuki 的摩拉数量的变化为：1（初始时的摩拉数量）→3→2→4→3→5→4→3→4；
- 可以证明，在Yuki完成她的旅程后，她的摩拉数量的最大值为4。
对于第 2 组测试数据，显然 Yuki 无法完成她的旅程。
样例 2
见题目附件中的 journey/journey2.in 与 journey/journey2.ans。
该组样例满足测试点 4 的限制。
样例 3
见题目附件中的 journey/journey3.in 与 journey/journey3.ans。
该组样例满足测试点 8 的限制。
样例 4
见题目附件中的 journey/journey4.in 与 journey/journey4.ans。
该组样例满足测试点 10 的限制。
样例 5
见题目附件中的 journey/journey5.in 与 journey/journey5.ans。
该组样例满足测试点 14 的限制。
样例 6
见题目附件中的 journey/journey6.in 与 journey/journey6.ans。
该组样例满足测试点 15 的限制。
样例 7
见题目附件中的 journey/journey7.in 与 journey/journey7.ans。
该组样例满足测试点 16 的限制。
样例 8
见题目附件中的 journey/journey8.in 与 journey/journey8.ans。
该组样例满足测试点 20 的限制。
数据范围
对于所有测试数据：
- 1≤T≤7；
- 2≤n,m≤1000；
- 0≤s≤k≤109；
- −109≤ai,j≤109。
| 测试点编号 | n≤ | m≤ | 特殊性质 |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 2 | A |
| 2 | 2 | 2 | 无 |
| 3 | 50 | 50 | C |
| 4∼5 | 50 | 50 | 无 |
| 6 | 200 | 200 | A |
| 7 | 200 | 200 | B |
| 8∼9 | 200 | 200 | C |
| 10∼11 | 200 | 200 | 无 |
| 12 | 1000 | 2 | 无 |
| 13 | 2 | 1000 | 无 |
| 14 | 1000 | 1000 | A |
| 15 | 1000 | 1000 | B |
| 16∼17 | 1000 | 1000 | C |
| 18∼20 | 1000 | 1000 | 无 |
- 特殊性质A：保证ai,j≤0。
- 特殊性质B：保证k=0。
- 特殊性质C：保证不存在i,j满足1≤i,j<n且ai,j+ai,j+1>0。
提示
本题输入量较大，请使用较快的输入方式。
附件下载
journey.zip48.39MB
题意简述
- 旅程起点：第1行某个方格 初态
- 移动方向：左/右/下 这对应着状态转移方程
- 途径获利：获该方格对应摩拉（达k饱和）
- 旅程完成：到达第n行某个方格
- 目标：是否可以完成旅程，完成旅程后所获摩拉的最大值
题目解答
解题关键
动态规划
状态定义
f[i][j]表示走到(i,j)所获摩拉的最大值（走不到用−1表示）。
状态转移方程
初态（第1行）：f(1,i)=min(a(1,i)+s,k)
下 (i,j)→(i+1,j)
f(i,j)=max(f(i,j),min(f(i−1,j)+a(i,j),k))
左/右（不换行） (i,j1)→(i,j2)
1.路径单纯往一个方向进行转移
右往左扫，再从左往右扫
左：f(i,j)=min(f(i,j−1)+a(i,j),k)
右：f(i,j)=min(f(i,j+1)+a(i,j),k)
2.绕圈
(1)如果这个圈非正可以贪心去除。
(2)如果它绕了一个正圈，一个绕圈路径可以分成很多连续段，也就是有一个连续段之和为正，也就是存在两个相邻的数，它们的和为正。“刷摩拉”，一直达到上界k。那么可以直接把这两个格子中a非负的格子的a改成k。（比如 [−2,3]→[−2,k],[0,1]→[k,k]）那么从(i,j1)到(i,j2)要么是直接走，要么就是需要到某个格子刷摩拉走一条左侧的折线或者右侧的折线，来刷摩拉。具体实现从左往右扫，从右往左扫，再从左往右扫即可。
(3)但是这里没有考虑既往左又往右的情况。如果左侧有两个刷币点，那么能形如x→y→x→y…的路径。够前往最近的，就可以完成满币，不必前往下一个点。右侧同理，所以对于A…S…T…B的样子，S是入口，T是出口，A,B是刷币点，可能走出来SABT,SAT的路线，本质就是看A→T,B→T哪个更优。每一次转折都一定要刷币，而关键的刷币点只有两个，所以最多转折两次，于是代码就是从左往右扫，从右往左扫，从左往右扫，从右往左扫，从左往右扫。
答案ans=max f(n,j)。
题解代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m,s;ll k;
const int MAXN=1005;
int a[MAXN][MAXN];
ll f[MAXN][MAXN];
ll ans;
//快读
void read(int &a){char c;a=0;int f=1;while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')f=-1;do a=a*10+c-'0';while(isdigit(c=getchar()));a*=f;
}
//快写
void write(int a){if(a<0)putchar('-'),a=-a;if(a>=10)write(a/10);putchar('0'+a%10);
}
void lr(int i){for(int j=1;j<=m;j++){if(j-1>=1&&f[i][j-1]>=0)f[i][j]=max(f[i][j],min(f[i][j-1]+a[i][j],k));}
}
void rl(int i){for(int j=m;j>=1;j--){if(j+1<=m&&f[i][j+1]>=0)f[i][j]=max(f[i][j],min(f[i][j+1]+a[i][j],k));}
}
signed main(){int c,T;cin>>c>>T;while(T--){cin>>n>>m>>s>>k;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;++j)read(a[i][j]);for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;++j)f[i][j]=-1;for(int i=1;i<=n;i++){if(i==1){for(int j=1;j<=m;j++){f[i][j]=max(f[i][j],min((ll)s+a[i][j],k));}}else{for(int j=1;j<=m;j++){if(f[i-1][j]>=0)f[i][j]=max(f[i][j],min(f[i-1][j]+a[i][j],k));}}if(i==n)break;for(int j=1;j<=m-1;j++){if(a[i][j]+a[i][j+1]>0){if(a[i][j]>=0)a[i][j]=k;if(a[i][j+1]>=0)a[i][j+1]=k;}}lr(i);rl(i);lr(i);rl(i);lr(i);}ans=-1;for(int j=1;j<=m;j++)ans=max(ans,f[n][j]);cout<<ans<<endl;}return 0;
}