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动态规划 (Dynamic Programming) 算法概念-Python示例

news 2025/7/28 8:29:55

Python 实例详解

1. 斐波那契数列

# 传统递归方法 - 效率低下 O(2^n)
def fibonacci_recursive(n):if n <= 1:return nreturn fibonacci_recursive(n - 1) + fibonacci_recursive(n - 2)# 动态规划方法 - 时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(n)
def fibonacci_dp(n):if n <= 1:return n# 创建状态数组dp = [0] * (n + 1)dp[0] = 0dp[1] = 1# 状态转移for i in range(2, n + 1):dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]return dp[n]# 空间优化版本 - 空间复杂度 O(1)
def fibonacci_optimized(n):if n <= 1:return nprev2, prev1 = 0, 1for i in range(2, n + 1):current = prev1 + prev2prev2, prev1 = prev1, currentreturn prev1

2. 硬币找零问题

# 找到组成金额所需的最少硬币数
def coin_change(coins, amount):# dp[i] 表示组成金额 i 所需的最少硬币数dp = [float('inf')] * (amount + 1)dp[0] = 0  # 组成金额0需要0个硬币# 对于每个金额for i in range(1, amount + 1):# 尝试每种硬币for coin in coins:if coin <= i:# 状态转移方程dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)return dp[amount] if dp[amount] != float('inf') else -1# 示例使用
print(coin_change([1, 3, 4], 6))  # 输出: 2 (3+3)

3. 编辑距离问题

# 计算两个字符串之间的最小编辑距离
def min_distance(word1, word2):m, n = len(word1), len(word2)# dp[i][j] 表示 word1[0...i-1] 转换为 word2[0...j-1] 的最小操作数dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]# 初始化边界条件for i in range(m + 1):dp[i][0] = ifor j in range(n + 1):dp[0][j] = j# 状态转移for i in range(1, m + 1):for j in range(1, n + 1):if word1[i - 1] == word2[j - 1]:# 字符相同，无需操作dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]else:# 取三种操作的最小值dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1,     # 删除dp[i][j - 1] + 1,     # 插入dp[i - 1][j - 1] + 1  # 替换)return dp[m][n]

4. 最长递增子序列

# 找到数组中最长递增子序列的长度
def length_of_lis(nums):if not nums:return 0# dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的最长递增子序列长度dp = [1] * len(nums)for i in range(1, len(nums)):for j in range(i):if nums[j] < nums[i]:dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)return max(dp)# 优化版本 - 使用二分查找 O(n log n)
def length_of_lis_optimized(nums):import bisecttails = []for num in nums:# 二分查找插入位置pos = bisect.bisect_left(tails, num)if pos == len(tails):tails.append(num)else:tails[pos] = numreturn len(tails)

5. 背包问题

# 0-1背包问题：在限定重量下获取最大价值
def knapsack(weights, values, capacity):n = len(weights)# dp[i][w] 表示前i个物品在容量为w时的最大价值dp = [[0] * (capacity + 1) for _ in range(n + 1)]# 状态转移方程for i in range(1, n + 1):for w in range(capacity + 1):# 不选择第i个物品dp[i][w] = dp[i - 1][w]# 如果能选择第i个物品，比较选择和不选择的价值if w >= weights[i - 1]:dp[i][w] = max(dp[i][w],dp[i - 1][w - weights[i - 1]] + values[i - 1])return dp[n][capacity]# 空间优化版本
def knapsack_optimized(weights, values, capacity):n = len(weights)# 只需要一维数组，从后往前更新避免重复使用dp = [0] * (capacity + 1)for i in range(n):for w in range(capacity, weights[i] - 1, -1):dp[w] = max(dp[w], dp[w - weights[i]] + values[i])return dp[capacity]

6. 最大子数组和

# 求连续子数组的最大和
def max_subarray(nums):if not nums:return 0# dp[i] 表示以第i个元素结尾的最大子数组和dp = [0] * len(nums)dp[0] = nums[0]max_sum = dp[0]# 状态转移方程：dp[i] = max(nums[i], dp[i-1] + nums[i])for i in range(1, len(nums)):dp[i] = max(nums[i], dp[i - 1] + nums[i])max_sum = max(max_sum, dp[i])return max_sum# 空间优化版本
def max_subarray_optimized(nums):if not nums:return 0max_sum = nums[0]current_sum = nums[0]for i in range(1, len(nums)):current_sum = max(nums[i], current_sum + nums[i])max_sum = max(max_sum, current_sum)return max_sum

实际应用场景

1. 计算机科学领域

算法优化：在递归算法中避免重复计算
字符串处理：文本编辑器的差异比较、拼写检查
图形处理：图像压缩、模式识别
编译器设计：语法分析、代码优化

2. 业务应用

资源分配：项目管理中的任务调度
金融领域：投资组合优化、风险评估
电商推荐：个性化推荐系统
物流运输：路径规划、库存管理

3. 生物信息学

DNA序列比对：基因序列相似性分析
蛋白质结构预测：生物分子结构分析

4. 游戏开发

AI决策：游戏中的路径寻找
关卡设计：难度平衡计算

5. 网络通信

路由算法：网络数据包的最优路径选择
数据压缩：文件压缩算法优化

动态规划解题模板

def dynamic_programming_solution(problem):# 1. 定义状态# dp[i] 或 dp[i][j] 表示什么含义# 2. 初始化边界条件# dp[0] = ..., dp[1] = ...# 3. 状态转移方程# for i in range(...):#     dp[i] = some_function(dp[i-1], dp[i-2], ...)# 4. 返回结果# return dp[n] 或其他形式