牛客NC16660 [NOIP2004]FBI树(递归 + 二叉树后序遍历)

题目描述

我们可以把由 “0” 和 “1” 组成的字符串分为三类：

• 全“0”串称为 B串
• 全“1”串称为 I串
• 既含“0”又含“1”的串称为 F串

FBI 树是一种二叉树，它的结点类型也包括 F 结点、B 结点和 I 结点三种。由一个长度为 $2^N$ 的 “01” 串 $S$ 可以构造出一棵 FBI 树 $T$，递归构造的方法如下：

1. $T$ 的根结点为 $R$，其类型与串 $S$ 的类型相同；
2. 若串 $S$ 的长度大于 1，将串 $S$ 从中间分为等长的左右子串 $S_1$ 和 $S_2$；
   • 由左子串 $S_1$ 构造 $R$ 的左子树 $T_1$
   • 由右子串 $S_2$ 构造 $R$ 的右子树 $T_2$

现在给定一个长度为 $2^N$ 的 “01” 串，请用上述构造方法构造出一棵 FBI 树，并输出它的后序遍历序列。

后序遍历：先后序遍历左子树，再后序遍历右子树，最后访问根节点。

输入格式

• 第一行是一个整数 $N$，表示输入字符串的长度为 $2^N$。
• 第二行是一个长度为 $2^N$ 的“01”串。

输出格式

输出一行字符串，表示 FBI 树的后序遍历序列。

样例输入

3
10001011

样例输出

IBFBBBFIBFIIIFF

数据范围与说明

• 对于 40% 的数据，$N\le 2$
• 对于 100% 的数据，$0\le N\le 10$
• 输入字符串保证长度为 $2^N$

提交链接

https://ac.nowcoder.com/acm/problem/16660

思路分析

🧠构建过程概括（DFS + 后序遍历）

我们使用 递归（DFS） 的方式模拟构造这棵 FBI 树。

每个结点对应一个字符串区间，对于每个区间：

• 先递归构造左子树（处理左半段）
• 再递归构造右子树（处理右半段）
• 然后判断当前区间的类型：
  • 全为 '0'：类型为 'B'
  • 全为 '1'：类型为 'I'
  • 含 '0' 和 '1'：类型为 'F'
• 最后使用 后序遍历（左 → 右 → 根）输出所有结点的类型

树的大小分析

• 输入字符串的长度为 $2^n$，表示叶子结点数量为 $2^n$
• 构造出的 FBI 树是一棵 满二叉树
• 总结点数为：$2^{n+1}-1$

例如：

n	字符串长度	总节点数
0	1	1
1	2	3
2	4	7
3	8	15

输出要求

输出 FBI 树的 后序遍历 序列：

• 顺序为：左子树 → 右子树 → 根节点
• 每个结点输出其对应类型（F / B / I）

✅ 整体结构划分

函数名	作用
check(l, r)	判断区间 [l, r] 的字符串属于 F / B / I 类型
dfs(l, r, id)	构造以 str[l..r] 为区间的子树，存在数组 a 的下标 id 上
change(root)	后序遍历二叉树并输出对应类型

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<char>a(1000000);
int n;
string str;
char check(int l , int r)  //判断字符串的构成 FBI 哪一种
{int zero = 0 , one = 0;for(int i = l; i <= r; i++){if(str[i] == '0')zero++;elseone++;}if(zero && one)return 'F';else if(zero)return 'B';elsereturn 'I';
}
void dfs(int l , int r , int id)  //构造二叉树
{if(l == r){a[id] = check(l , r);return;}int mid = l + (r - l) / 2;dfs(l , mid , id * 2);dfs(mid + 1 , r , id * 2 + 1);a[id] = check(l , r);
}
void change(int root)
{if(a[root] == 0)return;change(2 * root);change(2 * root + 1);cout << a[root];
}
int main()
{cin >> n >> str;dfs(0 , str.size() - 1 , 1);change(1);return 0;
}