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多步相移小记

news 2025/7/26 7:55:23

本文聚焦 截断（包裹）相位 $ϕwrapped∈[−π,π)\phi_{\text{wrapped}} \in [-\pi, \pi)$ 的求解公式与误差特性，比对常用的 3 步、4 步 以及 通用 N 步 相移法。文中约定投影/干涉条纹的理想强度模型为

$ $⁣[ϕ(x,y)+αk],k=1…NI_k(x,y)=I_0(x,y)+I_m(x,y)\cos\!\bigl[\phi(x,y)+\alpha_k\bigr], \qquad k=1\ldots N$ $

其中  $I_0$ 为平均光强， $I_m$ 为调制度， $ϕ\phi$ 为待求物面相位， $αk\alpha_k$ 为已知相移。

属性	说明
典型相移序列	$4π/3}\{0,\;2\pi/3,\;4\pi/3\}$
截断相位公式	$2I2−I1−I3]\phi_{\text{wrap}}=\tan^{-1}\!\Bigl[\sqrt3\,(I_1-I_3)\,\;2I_2-I_1-I_3\Bigr]$
采样数	3 帧 → 帧率高、抖动窗口短
噪声方差	$σϕ2≈2σI2/(3Im2)\sigma_\phi^2 \approx 2\sigma_I^2 /(3I_m^2)$ （白噪声假设）
优/缺点	帧数最少→速度快；但对光强非线性和相移误差更敏感，偶次谐波无法抵消，SNR 较 4 步低约 33 %

属性	说明
相移序列	$3π/2}\{0,\;\pi/2,\;\pi,\;3\pi/2\}$
截断相位公式	$I1−I3]\phi_{\text{wrap}}=\tan^{-1}\!\bigl[I_4-I_2,\;I_1-I_3\bigr]$
采样数	4 帧
噪声方差	$σϕ2≈2σI2/(4Im2)=σI2/(2Im2)\sigma_\phi^2 \approx 2\sigma_I^2 /(4I_m^2)=\sigma_I^2/(2I_m^2)$
优/缺点	对偶次谐波（ $γ\gamma$ 失真）具有完全抵消能力；相移校准误差对相位的偶函数——一阶不敏感；相比 3 步，SNR 提升 ≈ 1.33 ×，但帧数多一帧；仍易受振动影响，需要帧间稳定

同步检测/DFT 公式

$∑k=1NIkcos⁡αk),αk=2π(k−1)N\phi_{\text{wrap}} = -\,\mathrm{atan2}!\Bigl( \sum_{k=1}^{N} I_k\sin\alpha_k,\; \sum_{k=1}^{N} I_k\cos\alpha_k \Bigr),\qquad\alpha_k=\tfrac{2\pi(k-1)}{N}$
误差与冗余
$σϕ2≈2σI2/(NIm2)\sigma_\phi^2 \approx 2\sigma_I^2 /(N I_m^2)$ ：噪声方差随帧数增加而下降，故增加步数能显著提高信噪比与抗伪影能力，但对运动/振动的容忍度降低，采集时间线性变长。
谐波抑制
若 N ≥ 4，偶次谐波可通过加权设计进一步抵消；N 为奇数时需专门的包络补偿或双频技术降低 γ‑畸变误差。

使用 atan2(y,x) —— 可直接获得 (‑π, π] 内的主值；别忘了数值环境下对 x=y=0 的保护。
包裹 → 解包 —— 相位解包方法（行/列贯通、质量门限或多频异步解包）与相移步数无关，但高 SNR （多步）可显著降低解包跳变。
调制度 & 直流 ——

$I0=1N∑kIk,Im=2N(∑Ikcos⁡αk)2+(∑Iksin⁡αk)2I_0=\tfrac1N\sum_k I_k,\quad I_m = \frac{2}{N}\sqrt{\bigl(\sum I_k\cos\alpha_k\bigr)^2+\bigl(\sum I_k\sin\alpha_k\bigr)^2}$

低调制度区域应在相位图上作置信度掩码，避免噪声放大。
相移误差校准 —— 采用自标定（例如 Hariharan 4+4 帧、Carré 5 帧）或离线标定消除固定伺服误差；4 步在 ±5 % 相移偏差下的相位误差与 3 步几乎相当，但用 5 步可再降 1 个数量级。
γ‑畸变对策 —— 若投影或传感器非线性明显：
- 用 4、N=2^m 步并配合正余弦权重抵消偶次谐波；
- 或采用“平均分两趟”双频复合相移；
- 或直接线性化 LUT / γ‑校正。