特征值与特征向量
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特征值与特征向量的定义（重点记忆）
什么叫特征值，什么叫特征向量，他们是描述什么的？
从我们下面的小字可以看到他俩是用来描述A的，那么这个公式的意义又是什么？从公式中可以看到这个的意思就是说A在乘一个向量的时候，若相当于给这个向量做线性变换（乘以一个数），这个倍数就是特征值，这个向量就是特征向量。所以我们从这个定义中可以敏锐的观察到，一个特征值和特征向量应该是一一对应的关系，那么可以是多个特征值对应一个特征向量吗？从我们的理解来看显然不行，因为向量规定了这个对应的倍数也应该是定死的，但是可以多个特征向量对应一个特征值没，对应的这个特征值相当于是多个一一对应关系的叠加。
我们打个比方就是说有一个变大魔法（A），碰到特定的物体（特征向量），那个物体就会变大K（特征值）倍。那么如果我对石头放魔法，石头变大2倍，对小草放魔法，小草变大3倍，对小鼠放魔法，小鼠放大两倍，对树放魔法，树没变。那么这里的石头，小草。小鼠就是相当于是特征向量，而2倍，3倍，2倍则是特征值，显然我们的对应关系一目了然。
在这里要首先记住我们的表达式，在我们的特征值和特征向量的题目中这是一切之源，其次就是充分理解什么是特征值和特征向量。
特征值和特征向量的求法（重点记忆）
考试一定会出题的点。步骤也很简单，首先是行列式为0，求特征值，之后把特征值带入用我们的齐次方程的解法求特征向量。
例题
主要的难点应该就是这个在行列式求特征值的地方，如果大家考试的时候实在是不会把其中一行化为只有一个非零值的话，可以直接展开，这个时候大概是个三次的表达式，可以用试根法来求特征值。
注意最高次项前的系数需为1
特征值特征向量的性质和重要结论（部分重点）
这个其实就是我们的解题步骤里的了，不用背。
重点记忆！高频考点，一定要记住。下面的这个tr（A）就是我们的主对角线之和，也叫矩阵的迹。
重点记忆，这几个结论也是经常出考题的地方。
这个表格也要重点记忆，主要要记住后4个。那么我们这个表格好像少了转置，实际上转置和他们都不一样，因为转置矩阵实际上和原矩阵在很多地方都是不一样的，基本上是相当于换了一个矩阵，因此：
重点例题
这个例题大家一定要背下来，他的解题方法和思想我们需要学会。另外这个题目的结论我们可以直接使用。、
看到题目条件是秩1的n阶矩阵，然后结论是要证明特征值前n-1个都是0.关于特征值的求解我们只学了一个就是使用行列式去求解，那么这个题要证明前n-1个都是0，那么0必然就是特征值，有了这个思路我们可以把0带入，发现A的行列式就是0，证明成功。也就是说0必然是秩1矩阵的一个特征值。那么接下来问题就是怎么证明前面n-1个都是0呢？那我们可以看到如果我们的特征值是0的时候，对应的特征向量其实至少应该是n-1，因为在我们解题步骤的下一步里Ax=0的线性无关解是有n-r(A),也就是n-1个的。我们的结论里有一条是说k重特征值的特征向量最多是k个。那么也就是说我们的这个特征值0最少是n-1重特征值。那么我们最后一个特征值怎么求呢？可以想想我们的几个知识点里包含特征值的等式，一个是乘积一个是和，这里用的是tr(A)=n个特征值的和，然后因为我们这个是秩1矩阵，从而得出答案。
从本题给出的条件来说，我们第一反应是是能不能进行乘法运算，但是题目没说A是可逆的，那剩下来的操作只能是把A移动到左边，形成一个A方-A=0的等式。因为一般题目所给的等式条件都是要进行一定的运算的，首先是进行加减乘除，或者两边同时加减乘除一个东西来变成真正的题目有用的条件。
因为我们无法再对这个等式做什么其他的操作了，所以基本可以确定A方-A=0的等式就是解题的突破点。那么看着这个等式我们来联想一下我们的知识点（我之前标的要重点记忆的那些），我们会发现有一条能对的上，就是当f(A)=0的时候，特征值带入f也为0。这样的话第一问特征值也就求出来了。
看第二问，问的是E+A是不是可逆矩阵，对于可逆矩阵的判定，我们使用的一般是行列式的值是否为0来判定，也就是说这题问的是这个行列式是不是为0，在第一问中涉及到了特征值，也就是说这个知识点考察的是关于特征值和行列式之间的关系的，那我们很容易就能想到行列式的值等于特征值的乘积这个知识点，那么这个问题就变成了问你E+A这个特征值是否都是非0的，再看第一问，我们求出了A的特征值，那么根据我们的表格，求第二问的特征值也很容易了。
这里涉及到一个新的题目翻译：每行元素为2翻译为乘111的矩阵。对于本题来说，要求的A11+A21+A31正好是伴随矩阵的第一行，其实也就是问A*的每行元素之和为多少。其实也就是在问的A*的特征值是多少。
矩阵的相似
那么我们注意这里必须A和B是两个方阵，其次就是相似和我们之前说的同型之间的关系和区别。
性质（重点记忆）
记忆的话首先是我们相似矩阵的特征值是一样的，既然特征值一样，那么自然行列式和迹都是一样的。其次矩阵相似，那必然是等价的，也就是秩相等。
但是注意这里的6个都是必要条件，也就是说就算有两个方阵A和B这6个都满足那么也不一定是相似的，但是不满足一定不是。
重要结论（重点记忆）
这三个结论的相似中的P都是一样的。
这个虽然说也是相似但是实际上两个相似的P是不一样的。
对于我们这个要注意的是，一般考题出的矩阵都是3阶的，如果出现4阶的矩阵，那么大概率就是我们这种分块矩阵。所以如果题目出现4阶，大家要第一时间联想到分块矩阵这个知识点。
两矩阵是否相似的判别与证明（重点记忆）
例题
基本就是利用那６个必要条件来解题做排除法。
矩阵的相似对角化
定义
条件（重点记忆）
求解（部分重点）
其实基本和之前求特征值和特征向量是一个步骤，最后一步注意到对应就行了。
这个要重点记忆
例题
主要考察的是我们的题目“翻译”能力，把题目中的文字或者公式翻译成对我们有用的知识点或者形式。
非常综合的题目。我们数学题中的比较有难度的题，什么是有难度，大家联想知识点，变换条件（翻译题目），这个是每个人经过训练都能做到的。能做到这个数学基本就能拿百分之八十的分数了，那剩余的分数有时候就要有更深层次的联想和变换。
很多难题的出现都是同时乘除或者加减一个东西然后做出来的，因为没有明显摆在明面上，所以大家第一时间不会想到，因此这种题目就会比较困难，比如我们这题的第二问。
其次对于证明题来说，反证法能不能想到？因为我们大多数人都习惯正向思维，反向思维用的很少，那么对于证明题来说，在我们正向不太好做的时候（就是写卡住的时候）反证法一定要想到。
实对称矩阵的相似对角化
性质（重点记忆）
解题步骤
我们之前说过，特征值相同只是两个方阵相似的必要条件，但是如果两个是实对称矩阵的话就变成了充要条件了。