2025年6月GESP（C++六级）：最大因数

2025年6月GESP（C++六级）：最大因数

题目描述

给定一棵有 $10^9$ 个结点的有根树，这些结点依次以 $1,2,\dots ,10^9$ 编号，根结点的编号为 $1$。对于编号为 $k$（$2\le k\le 10^9$）的结点，其父结点的编号为 $k$ 的因数中除 $k$ 以外最大的因数。

现在有 $q$ 组询问，第 $i$（$1\le i\le q$）组询问给定 $x_i,y_i$，请你求出编号分别为 $x_i,y_i$ 的两个结点在这棵树上的距离。两个结点之间的距离是连接这两个结点的简单路径所包含的边数。

输入格式

第一行，一个正整数 $q$，表示询问组数。

接下来 $q$ 行，每行两个正整数 $x_i,y_i$，表示询问结点的编号。

输出格式

输出共 $q$ 行，每行一个整数，表示结点 $x_i,y_i$ 之间的距离。

输入输出样例 #1

输入 #1

3
1 3
2 5
4 8

输出 #1

1
2
1

输入输出样例 #2

输入 #2

1
120 650

输出 #2

9

说明/提示

对于 $60\%$ 的测试点，保证 $1\le x_i,y_i\le 1000$。

对于所有测试点，保证 $1\le q\le 1000$，$1\le x_i,y_i\le 10^9$。

题目分析

本题要求计算一棵特殊树中两个节点之间的距离。树的结构如下：

• 根节点为1
• 对于节点k（k ≥ 2），其父节点是k的最大真因数（即除k本身外的最大因数）

解题思路

1. 父节点计算：对于节点x，其父节点是x的最大真因数。通过从2开始枚举到√x，找到x的最小质因数i，则x/i即为最大真因数。若未找到（x为质数），则父节点为1。
2. 距离计算：两个节点x、y之间的距离通过以下步骤计算：
   • 不断将x和y中较大的节点上移至其父节点，直到两者相遇
   • 每次移动计数一次，总移动次数即为两节点间的距离

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int q;// 计算节点x的父节点（最大真因数）
int fa(int x) {// 从2枚举到√xfor (int i = 2; i * i <= x; i++) {if (x % i == 0) return x / i; // 找到最小质因数i，返回最大真因数x/i}// 未找到因数（x为质数），返回1return 1;
}// 计算两个节点x,y在树上的距离
int lca(int x, int y) {int ans = 0;// 当x和y不相同时循环while (x != y) {// 移动较大的节点（因为树中父节点小于子节点）if (x < y) y = fa(y); // 移动yelse x = fa(x); // 移动xans++; // 增加移动计数}return ans; // 返回总移动次数（即距离）
}int main() {cin >> q;while (q--) {int x, y;cin >> x >> y;cout << lca(x, y) << endl;}return 0;
}

代码功能解析

1. fa(int x)：
   • 功能：计算节点x的父节点
   • 实现：通过试除法找到x的最小质因数，返回对应的最大真因数
2. lca(int x, int y)：
   • 功能：计算两节点间距离
   • 实现：循环比较节点大小，较大者上移父节点，直到相遇，返回移动次数
3. 主程序：
   • 读取询问次数q
   • 对每组询问，读取节点对(x,y)，输出距离计算结果

文末彩蛋：

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https://edu.csdn.net/lecturer/7901