算法第三十八天：动态规划part06（第九章）

上期回顾：

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

1.零钱兑换

思路：

一、问题类别识别

• 本题为完全背包问题（每种硬币可重复用），求最值（最小硬币个数）。

---

二、状态表示

• dp[j]: 表示凑成金额 j 所需的最少硬币数。

---

三、初始化

• dp[0] = 0: 凑出金额 0，需要 0 个硬币。

• 其余初始化为 inf，表示“当前金额不可达”。

四、状态转移方程

• 如果当前金额 j 可以由 j - coin 推出：

  dp[j]=min⁡(dp[j],dp[j−coin]+1)dp[j] = \min(dp[j], dp[j - coin] + 1)dp[j]=min(dp[j],dp[j−coin]+1)

---

五、遍历顺序

• 外层遍历 物品（coin），内层遍历 容量（j in range(coin, amount+1)），表示“完全背包”。

class Solution:def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:#dp[j] 是凑成总金额j所需要的最少的硬币个数# 初始化 dp 数组，dp[j] 表示凑成金额 j 所需的最少硬币数dp = [float('inf')]*(amount+1)dp[0] = 0for coin in coins:for j in range(coin, amount+1):dp[j] = min(dp[j], dp[j-coin]+1) #最少的硬币个数 return dp[amount] if dp[amount] != float('inf') else -1

 2.完全平方数

279. 完全平方数 - 力扣（LeetCode）

class Solution:def numSquares(self, n: int) -> int:#定义dp[j]:构成和为j的完全平方数的最少数量dp = [float('inf')]*(n+1)dp[0] = 0#递归公式 组合：先物品后背包#枚举所有的完全平方数作为物品for num in range(1, int(n**0.5)+1):squre = num*numfor j in range(squre, n+1):dp[j] = min(dp[j], dp[j-squre]+1)return dp[n]

3.单词拆分

class Solution:def wordBreak(self, s: str, wordDict: List[str]) -> bool:#思路:从wordDict里（背包）取出物品看是否满足#有顺序的属于排列：先背包后物品#dp[i]表示字符串s的前i个字符s[:i]是否可以拆分成字典中的单词的组合n = len(s)dp = [False]*(n+1)dp[0] = True#将字符串列表转化为集合set(),查询操作的时间复杂度降为O(1)word_set = set(wordDict)for i in range(1, n+1):  #s[:i]for j in range(i):    # 尝试所有可能的分割点if dp[j] and s[j:i] in word_set:dp[i] = Truebreakreturn dp[n]

背包总结

在讲解背包问题的时候，我们都是按照如下五部来逐步分析，相信大家也体会到，把这五部都搞透了，算是对动规来理解深入了。

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

背包递推公式

问能否能装满背包（或者最多装多少）：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]); ，对应题目如下：

• 动态规划：416.分割等和子集(opens new window)
• 动态规划：1049.最后一块石头的重量 II(opens new window)

问装满背包有几种方法：dp[j] += dp[j - nums[i]] ，对应题目如下：

• 动态规划：494.目标和(opens new window)
• 动态规划：518. 零钱兑换 II(opens new window)
• 动态规划：377.组合总和Ⅳ(opens new window)
• 动态规划：70. 爬楼梯进阶版（完全背包）(opens new window)

问背包装满最大价值：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]); ，对应题目如下：

• 动态规划：474.一和零(opens new window)

问装满背包所有物品的最小个数：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]); ，对应题目如下：

• 动态规划：322.零钱兑换(opens new window)
• 动态规划：279.完全平方数

遍历顺序

01背包

在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！ (opens new window)中我们讲解二维dp数组01背包先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历。

和动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组） (opens new window)中，我们讲解一维dp数组01背包只能先遍历物品再遍历背包容量，且第二层for循环是从大到小遍历。

一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维dp数组实现的01背包其实是有很大差异的，大家需要注意！

完全背包

说完01背包，再看看完全背包。

在动态规划：关于完全背包，你该了解这些！ (opens new window)中，讲解了纯完全背包的一维dp数组实现，先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历。

但是仅仅是纯完全背包的遍历顺序是这样的，题目稍有变化，两个for循环的先后顺序就不一样了。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品

背包结束啦，加油！下一章见！