算法第三十七天：动态规划part05（第九章）
一.完全背包理论基础-二维DP数组
#每个背包可以使用无数次#倒序遍历改为正序遍历n, v = map(int, input().split())#读取物品的种类和重量
data = []
for _ in range(n):weight, value = map(int, input().split())data.append((weight, value))#初始化 # 初始化 dp[i][j] 表示前 i 个物品在容量为 j 的背包下的最大价值
dp = [[0]*(v+1) for _ in range(n+1)]for i in range(1,n+1):weight, value = data[i-1]for j in range(v+1):#不选第i个物品dp[i][j] = dp[i-1][j]#可以选第i个物品多次if j >= weight:dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j-weight]+value)
print(dp[n][v])2.零钱兑换Ⅱ：组合数：先遍历物品后遍历背包
518. 零钱兑换 II - 力扣（LeetCode）
思路：
class Solution:def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:#dp[j] 表示可以凑成价值为j的组合数dp = [0] * (amount+1)dp[0] = 1for coin in coins:for j in range(coin, amount+1):#循环从 coin 开始的原因：因为会越界dp[j] += dp[j-coin]return dp[amount]
3.组合总合Ⅳ ：排列：先遍历背包再遍历物品
思路：
✅ 思路总结：
📌 1. 本质是一个完全背包问题的变形：
-
数组元素可以重复使用；
-
关键在于：组合顺序不同视作不同的结果，即
[1,2]和[2,1]被认为是两种不同的组合； -
所以我们要计算的是排列数（而非组合数）。
2. 状态定义：
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定义
dp[i]表示：凑出目标和为i的组合（排列）数。
📌 3. 初始化：
dp = [0] * (target + 1) dp[0] = 1 # 凑出 0 有 1 种方式：什么都不选
-
为什么
dp[0]=1？表示凑成 0 元，有 1 种方式（空序列），这是构建递推关系的基础。
📌 4. 状态转移方程（排列 vs 组合的核心区别）：
class Solution:def combinationSum4(self, nums: List[int], target: int) -> int:#强调组合顺序即为排列 ：先遍历背包，再遍历物品#组合数：先遍历物品再遍历背包#dp[j] 就是总和为j的元素组合个数dp = [0]*(target+1)dp[0] = 1for i in range(1, target+1):for num in nums:if i >= num:dp[i] += dp[i-num]return dp[target]
4.爬楼梯：不难套公式，属于排列问题，先背包后物品
n, m = map(int, input().split())#这个属于排列问题
#定义dp数组，dp[j] 等于爬j阶楼梯有dp[j]种不同的方法
dp = [0]*(n+1)
dp[0] = 1#递推公式:先背包后物品
for i in range(1, n+1):for step in range(1, m+1):if i >= step:dp[i] += dp[i-step]
print(dp[n])今天就到这里结束啦！明天继续！